Der Johnson-Körper J5

Elementare Eigenschaften

Dieser elementare Johnson-Körper entsteht aus einem regelmäßigen Zehneck als Grundfläche und einem dazu parallelen regelmäßigen Fünfeck als Deckfläche. Dabei sind die Ecken des Fünfecks jeweils mit einem verschiedenen Paar benachbarter Ecken des Zehnecks verbunden, so daß als Mantelfläche insgesamt fünf regelmäßige Dreiecke und fünf Quadrate entstehen, die einander abwechseln. Der Körper hat also fünfzehn Ecken und fünfundzwanzig Kanten derselben Kantenlänge a. Er wird als Fünfeckskuppel bezeichnet. Man erhält ihn auch, wenn man von einem Kleinen Rhombenikosidodekaeder eine "Polkappe" um eines der regelmäßigen Fünfecke herum abschneidet.

Symmetrien

Es gibt eine Symmetrieachse der Zähligkeit 5. Sie verläuft durch die Mittelpunkte der Fünfecks- und der Zehnecksfläche. Durch diese Achse verlaufen fünf Spiegelebenen, je eine durch eine Ecke der Fünfecksfläche und die ihr gegenüberliegende Kante. Die Symmetriegruppe von J5 ist daher die zehnelementige Gruppe C5v, also die Drehgruppe C5 erweitert um eine vertikale Spiegelung. Es liegt also dieselbe Symmetrie vor wie bei dem Johnson-Körper J2.

Metrische Eigenschaften

Die Oberfläche ergibt sich aus einem regulären Zehneck, einem regulären Fünfeck, fünf Quadraten und fünf gleichseitigen Dreiecken zu

O = (5 + 5*sqrt(3)/4 + sqrt(25 + 10*sqrt(5))/4 + 5*sqrt(5 + 2*sqrt(5))/2)*a2.