Willkommen zur Freiberger Web-Vorlesung über

Klassische Algebra


Während in der Linearen Algebra hauptsächlich Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen untersucht werden, die letzteren oft in der Gestalt von Matrizen, beschäftigt man sich in der Klassischen Algebra vor allem mit solchen algebraischen Strukturen, die dem Vektorraumbegriff und dem Matrizenkalkül zugrunde liegen. Dies sind vornehmlich die "klassischen" Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper. Sie haben sich in vielen Gebieten der Mathematik als nützlich erwiesen und verdienen deshalb eine eingehende Untersuchung. In der "moderneren Algebra" sind auch Strukturen nicht mehr wegzudenken, bei denen zu den üblichen Verknüpfungen wie Addition und Multiplikation noch partielle Ordnungen hinzukommen. Diese werden im Umfeld der Verbandstheorie eingehender untersucht.

Bei der Beschäftigung mit einzelnen dieser Strukturen stellte es sich heraus, daß man immer wieder auf Resultate stieß, die sich für die unterschiedlichen Strukturen in ganz analoger Weise formulieren ließen. Dies führte zur Entstehung der Universellen Algebra, in der im Prinzip Gemeinsamkeiten sämtlicher algebraischer Strukturen untersucht werden. Ihren größten Grad an Abstraktheit erreicht diese Vorgehensweise in der Kategorientheorie.

In der jüngsten Zeit erlangten Gebiete der Algorithmischen Algebra große Bedeutung, da sie in Form der Computeralgebra in vielen Anwendungen mathematischer Methoden Eingang fanden.


Diese Web-Seiten sollen eine Einführung in die klassische Algebra darstellen, die einerseits parallel zur Vorlesung "Klassische Algebra" im WS 2009/10 gelesen werden kann, andererseits aber auch für das Selbststudium geeignet ist. Zur Zeit besteht der Kern dieser Vorlesung aus einem halbgruppen- und gruppentheoretischen Teil, ausführlichere Teile über Ring- und Körpertheorie sollen später folgen. Inhaltlich umfaßt der gruppentheoretische Teil etwa den Umfang des Buches von Alexandroff, Einführung in die Gruppentheorie, die wesentlichen Inhalte sind also der Satz von Cayley, der Satz von Lagrange und der Homomorphiesatz, sowie als Konsequenzen daraus der erste und zweite Isomorphiesatz. Dabei werden jedoch die Grundbegriffe in größerer Allgemeinheit eingeführt, wie es etwa in dem Buch von Gerritzen, Grundbegriffe der Algebra geschieht, wo kategorielle Aspekte stark betont werden. Dies ermöglicht dann einen leichteren Ausbau der Vorlesung auf nichtassoziative Strukturen, wie Quasigruppen und Loops. Auf Wunsch der Hörer der Vorlesung in zurückliegenden Semestern wurde statt einer Vertiefung der Ring- und Körpertheorie eine Anwendung der Gruppentheorie in Form der diskreten Symmetriegruppen behandelt. Daher unterstützen diese Seiten gleichzeitig eine Vorlesung über Mathematische Grundlagen der Kristallographie, wobei eine Behandlung von Punktgittern noch zu ergänzen ist.

Anwendungen der Halbgruppentheorie in der Theoretischen Informatik werden durch die Transformationshalbgruppen von deterministischen endlichen Automaten und die syntaktischen Monoide formaler Sprachen angedeutet.

Der Einstieg erfolgt entweder über den Begriff der Halbgruppe oder der Gruppe, von wo aus man den gesetzten Links seinen Interessen (und seinem Vorwissen) gemäß folgt, oder man wählt gezielt einen Begriff aus dem Stichwortverzeichnis aus, etwa "Symmetriegruppe". Die hochgradige Vernetzung der einzelnen Seiten soll es einerseits ermöglichen, schnell zu den gewünschten Ergebnissen zu gelangen, indem die bekannten Begriffe "überlesen" werden, andererseits soll an jeder Stelle aber auch ein Rückgriff auf alle benötigten Begriffe möglich sein.

Vorausgesetzt und nicht weiter erläutert werden Grundbegriffe über Mengen, Abbildungen und Relationen sowie Vertrautheit mit den Rechenoperationen auf den reellen Zahlen. Viele Beispiele entstammen der Linearen Algebra. Sie sollen nur die neuen Begriffe mit möglichst vielfältigem Beispielmaterial unterlegen, sind aber zum Verständnis der eigentlichen Gruppentheorie nicht unbedingt notwendig. Sie können daher auch übergangen werden.


Udo Hebisch, September 2009

Weiterführende Literatur

  • D. Dorninger, W. Müller, Allgemeine Algebra und Anwendungen, Teubner, Stuttgart, 1984. ISBN 3-519-02030-0
  • K. Denecke, Algebra und Diskrete Mathematik für Informatiker, Teubner, Stuttgart, 2003. ISBN 3-519-02749-6
  • G. Fischer, R. Sacher, Einführung in die Algebra, Teubner, Stuttgart, 1974. ISBN 3-519-02053-X
  • F. Lorenz, Einführung in die Algebra, Teil I, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1992. ISBN 3-411-15582-5
  • F. Lorenz, Einführung in die Algebra, Teil II, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990. ISBN 3-411-14801-2
  • G. Scheja, U. Storch, Lehrbuch der Algebra, Teil 1, Teubner, Stuttgart, 1980. ISBN 3-519-02203-6
  • G. Scheja, U. Storch, Lehrbuch der Algebra, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1988. ISBN 3-519-02212-5
  • G. Scheja, U. Storch, Lehrbuch der Algebra, Teil 3, Teubner, Stuttgart, 1981. ISBN 3-519-02223-0
  • Armin Leutbecher, Zahlentheorie - Eine Einführung in die Algebra, Springer, Berlin, 1996. ISBN 3-540-58791-8
  • Peter J. Cameron, Sets Logic and Categories, Springer, Berlin, 1999. ISBN 1-85233-056-2
  • R. B. J. T. Allenby, Rings, Fields and Groups - An Introduction to Abstract Algebra, Edward Arnold, London, 1991. ISBN 0-340-54440-6
  • Gabor Toth, Glimpses of Algebra and Geometry, Springer, Berlin, 1998. ISBN 0-387-98213-2