Die Diedergruppe D2


Bei der Diedergruppe (D2,*) der Ordnung 4 handelt es sich um eine Gruppe, die von zwei Elementen b /= c der Ordnung 2 erzeugt wird, für die außerdem a = b*c ebenfalls die Ordnung 2 hat. Hieraus folgt e = a*a = b*c*b*c und daraus durch Multiplikation mit b von links und c von rechts b*c = c*b. Hieraus ergibt sich aber sofort, daß D2 = < b, c > genau aus den Elementen e, b , c und a = b*c = c*b besteht, denn höhere Potenzen von b und c kommen wegen der Ordnung 2 nicht vor. Damit ist (D2,*) kommutativ und isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Betrachtet man Bewegungsgruppen in der euklidischen Ebene E2, so faßt man b und c als Spiegelungen an zwei zueinander orthogonalen Geraden auf und a dann als Drehung um den Schnittpunkt dieser Geraden um den Winkel pi (oder als Inversion an diesem Schnittpunkt).

Betrachtet man dagegen Bewegungsgruppen im E3, so interpretiert man a, b und c jeweils als Drehung um den Winkel pi, wobei die drei zugehörigen Drehachsen paarweise senkrecht aufeinander stehen. Daher schreibt man in der Kristallographie für (D2,*) kurz 222.