Die Diedergruppe D4


Bei der Diedergruppe (D4,*) der Ordnung 8 handelt es sich um eine Gruppe, die von einem Element b der Ordnung 2 und einem Element a der Ordnung 4 erzeugt wird, für die b*a*b = a-1 = a*a*a gilt. Hieraus folgt b*a = a3*b, so daß man als Elemente von D4 etwa e, a, a2, a3, b, a*b, a2*b und a3*b wählen kann. Damit läßt sich die Cayley-Tafel von (D4,*) leicht aufstellen.

Betrachtet man Bewegungsgruppen in der euklidischen Ebene E2, so faßt man a als Drehung um den Winkel pi/2 um ein beliebiges Drehzentrum auf und b als Spiegelung an einer durch das Drehzentrum gehenden Geraden.

Betrachtet man dagegen Bewegungsgruppen im E3, so interpretiert man a als Drehung um den Winkel pi/2 um eine beliebige Achse und b als Drehung um den Winkel pi um eine Achse, die auf der Achse von a senkrecht steht. Aber auch die Hintereinanderausführung von a und b liefert eine Drehung um den Winkel pi um eine Achse, die auf der Achse von a senkrecht steht und gegen die Achse von b um pi/4 geneigt ist. Da es sich bei diesen Achsen mit den in der Kristallographie üblichen Bezeichnungen um eine Tetragyre und zwei Digyren handelt, notiert man (D4,*) dort kurz als 422.