Die Drehgruppe des Hexaeders O


Bei der Gruppe (O,*) handelt es sich um die aus 24 Elementen bestehende Gruppe aller Drehungen, die ein regelmäßiges Hexaeder mit sich selbst zur Deckung bringen.

Die Drehachsen verlaufen dabei jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen des Würfels (hiervon gibt es 3 Stück und jede hat die Zähligkeit 4, ist also eine Tetragyre) oder durch die Mitten von je zwei gegenüberliegenden Kanten (hiervon gibt es genau 6 Stück und jede hat die Zähligkeit 2, ist also eine Digyre) oder sie verlaufen entlang einer Raumdiagonale des Würfels (hiervon gibt es genau 4 Stück und jede hat die Zähligkeit 3, ist also eine Trigyre). Da jede Drehachse der Zähligkeit n genau n-1 von der Identität verschiedene Drehungen zuläßt, ergibt sich hieraus eine Gesamtzahl von 3*3 + 6*1 + 4*2 = 23 nichtidentischen Drehungen, was die oben gemachte Aussage bestätigt. Numeriert man die 4 Raumdiagonalen mit 1 bis 4 durch, so läßt sich jede dieser Drehungen eindeutig durch eine Permutation dieser Zahlen beschreiben. Also ist O isomorph zur symmetrischen Gruppe der Ordnung 4.

In der Kristallographie schreibt man für diese Gruppe kurz 432.