Die Drehgruppe des Tetraeders T


Bei der Gruppe (T,*) handelt es sich um die aus 12 Elementen bestehende Gruppe aller Drehungen, die ein regelmäßiges Tetraeder mit sich selbst zur Deckung bringen.

Die Drehachsen verlaufen dabei jeweils durch eine Ecke und das Zentrum des Tetraeders (hiervon gibt es 4 Stück und jede hat die Zähligkeit 3, ist also eine Trigyre) oder durch die Mitten von je zwei gegenüberliegenden Kanten (hiervon gibt es genau 3 Stück und jede hat die Zähligkeit 2, ist also eine Digyre). Da jede Drehachse der Zähligkeit n genau n-1 von der Identität verschiedene Drehungen zuläßt, ergibt sich hieraus eine Gesamtzahl von 4*2 + 3*1 = 11 nichtidentischen Drehungen, was die oben gemachte Aussage bestätigt. Numeriert man die 4 Tetraederecken mit 1 bis 4 durch, so läßt sich jede dieser Drehungen eindeutig durch eine gerade Permutation dieser Zahlen beschreiben. Also ist T isomorph zur alternierenden Gruppe A4.

In der Kristallographie schreibt man für diese Gruppe kurz 23, um sie von der Diedergruppe D3 zu unterscheiden, die dort als 32 notiert wird.