Additiv reguläre, vollständig reguläre oder inverse Halbringe


Ein Halbring (S,+,*) heißt additiv regulär, additiv vollständig regulär bzw. additiv invers, wenn (S,+) eine reguläre, vollständig reguläre bzw. inverse Halbgruppe ist.

Insbesondere ist jeder Halbring (S,+,*), für den (S,+) eine Gruppe ist, also jeder Ring mit nicht (notwendig) kommutativer Addition, ein additiv inverser Halbring.


Ist (S,+,*) additiv regulärer Halbring, so werde für jedes a aus S mit V+(a) die Menge der zu a inversen Elemente in (S,+) bezeichnet. Offensichtlich liegt dann a in V+(b) für alle b aus V+(a). In jedem additiv inversen Halbring (S,+,*) werde für jedes a aus S mit -a das eindeutig bestimmte Inverse aus V+(a) bezeichnet. Es gelten daher -(-a) = a und -(a + b) = (-b) + (-a)

Satz: Ist (S,+,*) ein additiv regulärer Halbring, so gilt

(1)   V+(a)*b und a*V+(b) sind in V+(a*b) enthalten

für alle a,b aus S.

Beweis: Für -a aus V+(a) folgen aus a + (-a) + a = a und (-a) + a + (-a) = -a in (S,+) sofort a*b + (-a)*b + a*b = a*b und (-a)*b + a*b + (-a)*b = (-a)*b wegen der rechtsseitigen Distributivität. Also liegt (-a)*b in V+(a*b). Die zweite Inklusion folgt dann dual aus der linksseitigen Distributivität.

Satz: (Vgl. 1) Theorem 3) Ist (S,+,*) ein additiv inverser Halbring, so gelten die von Ringen bekannten "Vorzeichenregeln"

(2)

-(a*b) = (-a)*b = a*(-b)

und

(3)

(-a)*(-b) = a*b

für alle a,b aus S.

Beweis: (2) folgt aus (1), da die Mengen der Inversen jeweils aus genau einem Element bestehen. Hieraus ergibt sich dann a*b = -(-(a*b)) = -(a*(-b)) = (-a)*(-b).


Satz: (Vgl. 2) Theorem 9) Sei (S,+,*) ein additiv inverser Halbring mit absorbierendem Nullelement 0 und regulärer Halbgruppe (S,*). Dann sind die folgenden Bedingungen gleichwertig.

a) Für alle e aus E*(S) und alle a aus S gilt e*a = 0 => a*e = 0.

b) Für alle a aus S und alle natürlichen Zahlen n gilt an = 0 => a = 0.

c) Für alle a aus S gilt a*a = 0 => a = 0.

d) Für alle a,b aus S gilt a*b = 0 => b*a = 0.

e) Für alle e,f aus E*(S) gilt e*f = 0 => f*e = 0.

Beweis: Da die Gleichwertigkeit von a) - d) für reguläre Halbgruppen mit absorbierendem Element bekannt ist und d) offensichtlich e) impliziert, bleibt a) aus e) zu folgern. Sei dazu -a das eindeutig bestimmte Inverse von a in der Halbgruppe (S,+) und a' aus V*(a). Dann folgt unter Benutzung der "Vorzeichenregeln" (e + (-(a*e)))2= e*(e + (-(a*e))) + (-(a*e)*(e + (-(a*e))) = e + (-(e*a*e)) + (-(a*e*e)) + a*e*a*e = e + 0 + (-(a*e)) + 0 = e + (-a*e), d.h. e + (-a*e) ist ebenso multiplikativ idempotent wie a*a'. Nun gilt aber (e + (-(a*e))*(a*a') = e*a*a' + (-(a*e*a*a')) = 0 + 0 = 0, also wegen a) auch 0 = (a*a')*(e + (-(a*e))) = a*a'*e + (-(a*a'*a*e)) = a*a'*e + (-(a*e)). Hieraus folgt bereits, daß a*a'*e und -(a*e) invers zueinander sind, und in der inversen Halbgruppe (S,+) impliziert dies bereits a*a'*e = a*e. Nun gilt aber e*a*a' = 0, und weil e und a*a' multiplikativ idempotent sind, folgt auch a*e = a*a'*e = 0.


Für Ringe mit nicht (notwendig) kommutativer Addition läßt sich dieser Satz verschärfen:

Satz: (Vgl. 2), Theorem 13) (Sei (S,+,*) ein Halbring für den (S,+) eine Gruppe und (S,*) eine reguläre Halbgruppe ist. Dann sind gleichwertig:

a) Für alle e aus E*(S) und alle a aus S gilt e*a = 0 => a*e = 0.

b) Für alle a aus S und alle natürlichen Zahlen n gilt an = 0 => a = 0.

c) Für alle a aus S gilt a*a = 0 => a = 0.

d) Für alle a,b aus S gilt a*b = 0 => b*a = 0.

e) Für alle e,f aus E*(S) gilt e*f = 0 => f*e = 0.

f) (S,*) ist eine inverse Halbgruppe.

g) (S,*) ist eine orthodoxe Halbgruppe.

Da g) => e) bereits für reguläre Halbgruppen mit absorbierendem Element 0 gezeigt wurde, und da jede inverse Halbgruppe bereits orthodox ist, reicht es, d) => f) zu zeigen. Seien dazu e,f aus E*(S). Dann gilt in der additiven Gruppe (S,+) unter Benutzung der "Vorzeichenregeln" e*(f - (e*f)) = e*f - e*f = 0 = f*e - f*e = (f - f*e)*e, also wegen d) auch (f - e*f)*e = f*e - e*f*e = 0 und e*(f - f*e) = e*f - e*f*e = 0. Dies zeigt bereits e*f = f*e.


1) P. H. Karvellas, Inversive semirings, Journal Australian Mathematical Society 18, (1974), 277 - 287.
2) John Zeleznikow, Orthodox semirings and rings, Journal Australian Mathematical Society (Series A) 30, (1980), 50 - 54.
3) John Zeleznikow, Regular semirings, Semigroup Forum 23, (1981), 119 - 136.
4) John Zeleznikow, On regular ring-semigroups and semirings, Commentationes Mathematicae Universitas Carolinae 25, 1 (1984), 129 - 138.