Adjunktion eines neutralen Elementes


Es sei (G,*) ein Gruppoid und e ein Element, das noch nicht in G enthalten ist. Auf der Menge G' = G u {e} definiere man eine innere Verknüpfung, die ebenfalls mit dem Symbol * bezeichnet werde, durch

(1)

a*b in (G,*), falls a und b in G liegen,

sowie

(2)

e*b = b und a*e = a

für alle a und b aus G, und schließlich

e*e = e.

Dann ist (G',*) ein Gruppoid mit e als neutralem Element, das (G,*) als Untergruppoid enthält.


Im folgenden werde mit (G1,*) das Gruppoid (G,*) selbst bezeichnet, wenn (G,*) schon ein Einselement besitzt, im anderen Fall bezeichne (G1,*) das eben konstruierte Gruppoid (G',*).


Offensichtlich ist (G',*) genau dann idempotent, kommutativ oder assoziativ, wenn (G,*) dieselbe Eigenschaft hat.


Man beachte, daß diese Konstruktion auch dann möglich ist, wenn (G,*) bereits ein neutrales Element besitzt. Dieses ist dann allerdings kein neutrales Element von (G',*). Insbesondere ist dann außer e kein weiteres Element mehr invertierbar in (G',*). Auch kann die Kürzbarkeit von Elementen bei dieser Adjunktion zerstört werden. Dies sieht man schon am Beispiel der einelementigen Gruppe G = {1}, denn wegen 1 * 1 = 1 = 1 * e ist 1 in (G',*) nicht länger (links)kürzbar und kein neutrales Element. Trotz dieser stets möglichen Adjunktion eines neutralen Elementes reicht es also für die allgemeine Untersuchung von Halbgruppen nicht, sich auf Monoide zu beschränken.


Im folgenden werde mit (G1,*) das Gruppoid (G,*) selbst bezeichnet, wenn (G,*) schon ein Einselement besitzt, im anderen Fall bezeichne (G1,*) das eben konstruierte Gruppoid (G',*).