Affine Abbildungen und affine Automorphismen


Es sei (V,+) ein Vektorraum über einem Körper (K,+,*). Eine Transformation a : V -> V von V heißt eine affine Abbildung, wenn es einen Vektor a aus V und eine lineare Abbildung fa : V -> V gibt, so daß gilt

(1)

a = ta o fa.

Wegen f(o) = o ist der Translationsteil ta in dieser Zerlegung durch a = a(o) eindeutig bestimmt und daher auch der lineare oder homogene Anteil als fa = ta-1 o a. Weiterhin ist a genau dann bijektiv, wenn ihr linearer Anteil fa bijektiv ist. Diese bijektiven affinen Abbildungen bezeichnet man auch als Affinitäten.

Ersichtlich ist jede Translation und jede lineare Abbildung auf V eine affine Abbildung, insbesondere also die identische Abbildung. Weiterhin ist die Nacheinanderanwendung zweier affiner Abbildungen ta o fa und tb o fb gemäß

(2)

(tb o fb) o (ta o fa) = (tb + fb(a)) o (fb o fa)

wieder eine affine Abbildung. Daher bildet die Menge aller affinen Abbildungen auf V ein Untermonoid des Monoids (TV,o) aller Transformationen von V. Da auch die Umkehrabbildung einer Affinität ta o fa gemäß

(3)

(ta o fa)-1 = tf-1(a) o fa-1

wieder eine Affinität ist, bilden die Affinitäten sogar eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe (SV,o). Diese Gruppe enthält die Gruppe der Translationen und die Automorphismengruppe (oder lineare Gruppe) (Aut(V),o) = (GL(V),o) von V als Untergruppen. Man bezeichnet sie daher auch als Gruppe der affinen Automorphismen (AGL(V),o) von V.


Für eine beliebige Untergruppe G von (AGL(V),o) seien

(4)

T(G) = { ta | ta aus G }

und

(5)

G0 = { fa | ta o fa aus G }.

Dann ist die Abbildung p : G -> Aut(V) gemäß p(ta o fa) = fa wegen (2) ein Gruppenhomomorphismus mit p(G) = G0 und ker(p) = T(G). Also ist nach dem Homomorphiesatz T(G) ein Normalteiler von G und G0 eine zur Faktorgruppe G/T(G) isomorphe Untergruppe von (Aut(V),o). Man bezeichnet sie als Punktgruppe von G.

Wegen tb o ta = tb + a für beliebige Translationen von (V,+) ist der Translationenbereich

(6)

(G) = { a aus V | ta aus T(G) },

von G eine zu T(G) isomorphe Untergruppe von (V,+).

Weiterhin permutiert jedes Element aus G0 den Translationenbereich, denn zu fb aus G0 und a aus (G) gibt es ein b aus V, so daß ta und tb o fb in G liegen. Daher liegt auch (tb o fb) o ta o (tb o fb)-1 = tfb(a) in G und daher fb(a) in (G). Also bildet fb den Translationenbereich in sich ab. Da nun auch fb-1 in der Gruppe G0 liegt, muß die Einschränkung von fb auf den Translationenbreich aber bereits bijektiv sein.


Zur Bestimmung von Untergruppen affiner Automorphismen dient der folgende Satz.

Satz: Es sei (G,o) eine Untergruppe von (AGL(V),o), T(G) = { ta aus G }, (G) = { a aus V | ta aus G } und G0 = { fa | ta o fa aus G für ein a aus V }. Weiterhin sei zu jedem f aus G0 ein v(f) aus V mit tv(f) o f aus G fest gewählt. Dann gelten

(7)

G = f aus G0 T(G) o tv(f) o f

und

(8)

v(f) + f(v(g)) - v(f o g) aus (G) für alle f,g aus G0.

Beweis: (7) Offensichtlich ist die rechte Seite in G enthalten. Für jede Abbildung a = ta o f aus G gilt aber a = ta - v(f) o tv(f) o f und ta - v(f) = ta o f o f-1 o tv(f) = a o (tv(f) o f)-1 aus G zeigt ta - v(f) in T(G).Also gilt in (7) Gleichheit. Außerdem sind die auf der rechten Seite von (7) auftretenden Nebenklassen von T(G) wegen der eindeutigen Zerlegung der affinen Automorphismen aus G für alle f aus G0 paarweise disjunkt.

(8) Für alle f,g aus G0 ist (tv(f) o f) o (tv(g) o g) = tv(f) + f(v(g)) o f o g in T(G) o tv(f o g) o (f o g) enthalten. Hieraus folgt wiederum mit der Eindeutigkeit der Zerlegung affiner Automorphismen tv(f) + f(v(g)) - v(f o g) aus T(G) und daher (8).


Die in diesem Satz dargestellte Analyse von Gruppen affiner Automorphismen kann man nun auch zur Konstruktion derartiger Gruppen verwenden:

Konstruktion: Es sei (,+) eine Untergruppe von (V,+) und (H,o) eine Untergruppe von (Aut(V),o), die auf operiert, d. h., die

(9)

für alle f aus H und alle a aus liegt f(a) in

erfüllt. Weiterhin sei v : H -> V eine Funktion mit

(10)

v(f) + f(v(g)) - v(f o g) in für alle f,g aus H.

Mit T = { ta | a aus } und G = f aus H T o tv(f) o f ist dann (G,o) eine Gruppe affiner Automorphismen, für die gilt

(11)

G0 = H und (G) = .

Beweis: Da (,+) Untergruppe von (V,+) ist, gelten

(12)

T o T = T

(13)

T-1 = T.

Wegen (9) ist f-1() für alle f aus H in enthalten und daher = f(f-1()) in f(). Also gilt für alle f aus H bereits

(14)

f() = .

Für alle a aus , x aus V und f aus H gilt f o ta o f-1(x) = f(a + f-1(x)) = f(a) + x, also f o ta o f-1 = tf(a). Dies zeigt mit (14) bereits f o T o f-1 = { tf(a) | a aus } = T, also

(15)

f o T = T o f.

Weiterhin folgt für die identische Abbildung iV = f aus (10), daß v(iV) + v(g) - v(g) = v(iV) in enthalten ist. Dies zeigt zunächst wegen T = T o tv(iV) = T o tv(iV) o iV, daß T in G enthalten ist. Außerdem folgt für alle f aus H, daß v(f-1) + f-1(v(f)) - v(iV) in liegt, daß also v(f-1) = a - f-1(v(f)) für ein a aus gilt.

Nun rechnet man mit Hilfe von (15) und (10) nach, daß (G,o) eine Halbgruppe ist. Mit (15) und (13) läßt sich zeigen, daß es sich sogar um eine Gruppe handelt. Ersichtlich gilt G0 = H für die Punktgruppe dieser Gruppe.

Da T in G liegt, ist auch in (G) enthalten. Ist aber w aus V mit tw in G, also w aus (G), so gilt wegen der eindeutigen Zerlegung affiner Automorphismen und der Definition von G schon tw = ta o tv(iV) o iV mit einem a aus . Hieraus folgt tw = ta+v(iV) . Also liegt w bereits in (G).


Wählt man in der obigen Konstruktion (,+) = (Rn,+) und H = O(Rn) die Gruppe der orthogonalen Abbildungen sowie v(f) = o für alle f aus H, dann erhält man für G die Gruppe AO(Rn) aller Bewegungen des Rn.