Affine Abbildungen und affine Automorphismen

Es sei $(V,+)$ ein Vektorraum über einem Körper $(K,+,*)$. Eine Transformation $a\; :\; V\; ->\; V$ von $V$ heißt eine affine Abbildung, wenn es einen Vektor a aus $V$ und eine lineare Abbildung $f$_a : V -> V gibt, so daß gilt

(1)

Wegen $f($o) = o ist der Translationsteil $t$_a in dieser Zerlegung durch $$a = a(o) eindeutig bestimmt und daher auch der lineare oder homogene Anteil als $f$_a = t_a^-1 o a. Weiterhin ist $a$ genau dann bijektiv, wenn ihr linearer Anteil $f$_a bijektiv ist. Diese bijektiven affinen Abbildungen bezeichnet man auch als Affinitäten.

Ersichtlich ist jede Translation und jede lineare Abbildung auf $V$ eine affine Abbildung, insbesondere also die identische Abbildung. Weiterhin ist die Nacheinanderanwendung zweier affiner Abbildungen $t$_a o f_a und $t$_b o f_b gemäß

(2)

wieder eine affine Abbildung. Daher bildet die Menge aller affinen Abbildungen auf $V$ ein Untermonoid des Monoids $(T$_V,o) aller Transformationen von $V$. Da auch die Umkehrabbildung einer Affinität $t$_a o f_a gemäß

(3)

wieder eine Affinität ist, bilden die Affinitäten sogar eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $(S$_V,o). Diese Gruppe enthält die Gruppe der Translationen und die Automorphismengruppe (oder lineare Gruppe) $(Aut(V),o)\; =\; (GL(V),o)$ von $V$ als Untergruppen. Man bezeichnet sie daher auch als Gruppe der affinen Automorphismen $(AGL(V),o)$ von $V$.

Für eine beliebige Untergruppe $G$ von $(AGL(V),o)$ seien

(4)

und

(5)

Dann ist die Abbildung $p\; :\; G\; ->\; Aut(V)$ gemäß $p(t$_a o f_a) = f_a wegen (2) ein Gruppenhomomorphismus mit $p(G)\; =\; G$₀ und $ker(p)\; =\; T(G)$. Also ist nach dem Homomorphiesatz $T(G)$ ein Normalteiler von $G$ und $G$₀ eine zur Faktorgruppe $G/T(G)$ isomorphe Untergruppe von $(Aut(V),o)$. Man bezeichnet sie als Punktgruppe von $G$.

Wegen $t$_b o t_a = t_{b + a} für beliebige Translationen von $(V,+)$ ist der Translationenbereich

(6)

$$(G) = { a aus V | t_a aus T(G) },

von $G$ eine zu $T(G)$ isomorphe Untergruppe von $(V,+)$.

Weiterhin permutiert jedes Element aus $G$₀ den Translationenbereich, denn zu $f$_b aus $G$₀ und $$a aus $$(G) gibt es ein $$b aus $V$, so daß $t$_a und $t$_b o f_b in $G$ liegen. Daher liegt auch $(t$_b o f_b) o t_a o (t_b o f_b)^-1 = t_fb(a) in $G$ und daher f_b(a) in $$(G). Also bildet $f$_b den Translationenbereich in sich ab. Da nun auch $f$_b^-1 in der Gruppe $G$₀ liegt, muß die Einschränkung von $f$_b auf den Translationenbreich aber bereits bijektiv sein.

Zur Bestimmung von Untergruppen affiner Automorphismen dient der folgende Satz.

Satz: Es sei $(G,o)$ eine Untergruppe von $(AGL(V),o)$, $T(G)\; =\; \{\; t$_a aus G }, $$(G) = { a aus V | t_a aus G } und $G$₀ = { f_a | t_a o f_a aus G für ein a aus V }. Weiterhin sei zu jedem $f$ aus $G$₀ ein $v(f)$ aus $V$ mit $t$_v(f) o f aus $G$ fest gewählt. Dann gelten

(7)

$G\; =$_{f aus G0} T(G) o t_v(f) o f

und

(8)

$v(f)\; +\; f(v(g))\; -\; v(f\; o\; g)\; aus$(G) für alle f,g aus G₀.

Beweis: (7) Offensichtlich ist die rechte Seite in $G$ enthalten. Für jede Abbildung $a\; =\; t$_a o f aus $G$ gilt aber $a\; =\; t$_{a - v(f)} o t_v(f) o f und $t$_{a - v(f)} = t_a o f o f^-1 o t_v(f) = a o (t_v(f) o f)^-1 aus $G$ zeigt $t$_{a - v(f)} in $T(G)$.Also gilt in (7) Gleichheit. Außerdem sind die auf der rechten Seite von (7) auftretenden Nebenklassen von $T(G)$ wegen der eindeutigen Zerlegung der affinen Automorphismen aus $G$ für alle $f$ aus $G$₀ paarweise disjunkt.

(8) Für alle $f,g\; aus\; G$₀ ist $(t$_v(f) o f) o (t_v(g) o g) = t_{v(f) + f(v(g))} o f o g in $T(G)\; o\; t$_{v(f o g)} o (f o g) enthalten. Hieraus folgt wiederum mit der Eindeutigkeit der Zerlegung affiner Automorphismen $t$_{v(f) + f(v(g)) - v(f o g)} aus $T(G)$ und daher (8).

Die in diesem Satz dargestellte Analyse von Gruppen affiner Automorphismen kann man nun auch zur Konstruktion derartiger Gruppen verwenden:

Konstruktion: Es sei $($,+) eine Untergruppe von $(V,+)$ und $(H,o)$ eine Untergruppe von $(Aut(V),o)$, die auf operiert, d. h., die

(9)

$für\; alle$ f$aus$ H$und\; alle$ $$a aus liegt $f($a) in

erfüllt. Weiterhin sei $v\; :\; H\; ->\; V$ eine Funktion mit

(10)

$v(f)\; +\; f(v(g))\; -\; v(f\; o\; g)\; in$ für alle $f,g$ aus $H$.

Mit $T\; =\; \{\; t$_a | a aus } und $G\; =$_{f aus H} T o t_v(f) o f ist dann $(G,o)$ eine Gruppe affiner Automorphismen, für die gilt

(11)

$G$₀ = H und (G) = .

Beweis: Da $($,+) Untergruppe von $(V,+)$ ist, gelten

(12)

$T$ o T = T

(13)

$T$^-1 = T.

Wegen (9) ist $f-1($) für alle $f$ aus $H$ in $$ enthalten und daher $$ = f(f^-1()) in $f($). Also gilt für alle $f$ aus $H$ bereits

(14)

$f($) = .

Für alle $$a aus $$, $$x aus $V$ und $f$ aus $H$ gilt $f\; o\; t$_a o f^-1(x) = f(a + f^-1(x)) = f(a) + x, also $f\; o\; t$_a o f^-1 = t_f(a). Dies zeigt mit (14) bereits $f\; o\; T$ o f^-1 = { t_f(a) | a aus } = T, also

(15)

$f\; o\; T$ = T o f.

Weiterhin folgt für die identische Abbildung $i$_V = f aus (10), daß $v(i$_V) + v(g) - v(g) = v(i_V) in $$ enthalten ist. Dies zeigt zunächst wegen $T$ = T o t_v(iV) = T o t_v(iV) o i_V, daß $T$ in $G$ enthalten ist. Außerdem folgt für alle $f$ aus $H$, daß $v(f-1)\; +\; f-1(v(f))\; -\; v(i$_V) in $$ liegt, daß also $v(f-1)\; =$a - f^-1(v(f)) für ein $$a aus $$ gilt.

Nun rechnet man mit Hilfe von (15) und (10) nach, daß $(G,o)$ eine Halbgruppe ist. Mit (15) und (13) läßt sich zeigen, daß es sich sogar um eine Gruppe handelt. Ersichtlich gilt $G$₀ = H für die Punktgruppe dieser Gruppe.

Da $T$ in $G$ liegt, ist auch $$ in $$(G) enthalten. Ist aber $$w aus $V$ mit $t$_w in $G$, also $$w aus $$(G), so gilt wegen der eindeutigen Zerlegung affiner Automorphismen und der Definition von $G$ schon $t$_w = t_a o t_v(iV) o i_V mit einem $$a aus $$. Hieraus folgt $t$_w = t_a+v(iV) . Also liegt $$w bereits in $$(G).

Wählt man in der obigen Konstruktion $($,+) = (Rⁿ,+) und $H\; =\; O(Rn)$ die Gruppe der orthogonalen Abbildungen sowie $v(f)\; =$o für alle $f$ aus $H$, dann erhält man für $G$ die Gruppe $AO(Rn)$ aller Bewegungen des $Rn$.