Äußere Operationen, Gruppoid-Akte und S-Mengen

Es seien $G$ und $M$ nichtleere Mengen. Eine (linksseitige) äußere Verknüpfung von $G$ auf $M$ ist dann eine Abbildung $. : G x M -> M$ , die jedem Paar $(g,m)$ aus $G x M$ ein eindeutig bestimmtes Element $g.m$ aus $M$ zuordnet. Meistens läßt man das Verknüpfungssymbol $.$ weg und schreibt kurz $gm$ . Man sagt dann auch, die Elemente von $G$ operieren auf $M$ oder kurz $G$ operiert auf $M$ , und nennt die Elemente von $G$ Operatoren. Dual werden rechtsseitige Operationen erklärt.

Ist hierbei $(G,*)$ ein Gruppoid, so spricht man auch von einem Gruppoid-Akt oder G-Akt $($ _GM,.). Insbesondere kann man jedes Gruppoid $(G,*)$ als G-Akt $($ _GG,*) auffassen.

Ist das Gruppoid sogar eine Halbgruppe $(S,*)$ und gilt

(1)

(a*b)m = a(bm)

für alle $a,b$ aus $S$ und $m$ aus $M$ , so nennt man $($ _SM,.) eine S-Menge. Wiederum ist jede Halbgruppe eine S-Menge $($ _SS,*).

Besitzt das Gruppoid $(G,*)$ ein Einselement 1 und gilt

(2)

1m = m

für alle $m$ aus $M$ , so nennt man den Gruppoid-Akt unitär.