Äußere Operationen, Gruppoid-Akte und S-Mengen


Es seien G und M nichtleere Mengen. Eine (linksseitige) äußere Verknüpfung von G auf M ist dann eine Abbildung . : G x M -> M, die jedem Paar (g,m) aus G x M ein eindeutig bestimmtes Element g.m aus M zuordnet. Meistens läßt man das Verknüpfungssymbol . weg und schreibt kurz gm. Man sagt dann auch, die Elemente von G operieren auf M oder kurz G operiert auf M, und nennt die Elemente von G Operatoren. Dual werden rechtsseitige Operationen erklärt.

Ist hierbei (G,*) ein Gruppoid, so spricht man auch von einem Gruppoid-Akt oder G-Akt (GM,.). Insbesondere kann man jedes Gruppoid (G,*) als G-Akt (GG,*) auffassen.

Ist das Gruppoid sogar eine Halbgruppe (S,*) und gilt

(1)

(a*b)m = a(bm)

für alle a,b aus S und m aus M, so nennt man (SM,.) eine S-Menge. Wiederum ist jede Halbgruppe eine S-Menge (SS,*).

Besitzt das Gruppoid (G,*) ein Einselement 1 und gilt

(2)

1m = m

für alle m aus M, so nennt man den Gruppoid-Akt unitär.