Alternative Gruppoide


Ein Gruppoid (G,*) heißt linksalternativ, wenn

(1l)

a * (a * b) = (a * a) * b

und rechtsalternativ, wenn

(1r)

b * (a * a) = (b * a) * a

für alle a,b aus G gelten. Sind beide Bedingungen erfüllt, so spricht man von einem alternativen Gruppoid. Offensichtlich ist jede Halbgruppe ein alternatives Gruppoid.


Wie hier gezeigt wird, ist ein Element e eines linksalternativen Gruppoids genau dann ein linksneutrales Element, wenn es idempotent und linkskürzbar ist.


Eine linksalternative Quasigruppe hat ein linksneutrales Element, eine alternative Quasigruppe ist daher bereits eine Loop. Da jede Quasigruppe kürzbar ist, bleibt nur die Existenz eines idempotenten Elementes zu zeigen. Sei dazu a aus G beliebig. Dann existiert ein Element e, für das e * a = a gilt. Mit (1l) folgt daher e * a = e * (e * a) = (e * e) * a und hieraus wegen der Rechtskürzbarkeit in der Quasigruppe bereits die Idempotenz von e.