Arithmetische Vektorräume

Es sei $(K,+,*)$ ein beliebiger Körper und $n > 0$ eine natürliche Zahl. Auf dem $n$ -fachen cartesischen Produkt $K$ ⁿ, also der Menge aller $n$ -Tupel a = (a₁,...,a_n) wird durch folgende Festsetzungen eine innere und eine äußere Verknüpfung definiert

(1)

(a

₁,...,a_n) + (b₁,...,b_n) = (a₁ + b₁,...,a_n + b_n)

(2)

k(a

₁,...,a_n) = (ka₁,...,ka_n)

für alle

(a

₁,...,a_n), (b₁,...,b_n) aus

K

ⁿ und alle

k

aus

K

Bei $(K$ ⁿ,+) handelt es sich also um nichts anderes als das $n$ -fache direkte Produkt der abelschen Gruppe $(K,+)$ und daher selbst um eine abelsche Gruppe. Für die äußere Verknüpfung (2) bestätigt man mit Hilfe der Rechengesetze im Körper $(K,+,*)$ sofort die Vektorraumaxiome. Also ist $K$ ⁿ ein Vektorraum, der arithmetische Vektorraum der Dimension n über $(K,+,*)$ .

Speziell für den Körper $(R,+,*)$ der reellen Zahlen erhält man im Fall $n = 2$ die bekannte euklidische Ebene und im Fall $n = 3$ den dreidimensionalen euklidischen (Anschauungs-)Raum.

Die $n$ Vektoren $e$ _i = (0,...,0,1,0,...,0), für $i=1,...,n$ , wobei genau an der $i$ -ten Koordinate das Einselement 1 von $(K,+,*)$ und sonst überall das Nullelement 0 steht, bilden offensichtlich eine Basis des $K$ ⁿ, was die obige Bezeichnung rechtfertigt.