Arithmetische Vektorräume


Es sei (K,+,*) ein beliebiger Körper und n > 0 eine natürliche Zahl. Auf dem n-fachen cartesischen Produkt Kn, also der Menge aller n-Tupel a = (a1,...,an) wird durch folgende Festsetzungen eine innere und eine äußere Verknüpfung definiert

(1)

(a1,...,an) + (b1,...,bn) = (a1 + b1,...,an + bn)

(2)

k(a1,...,an) = (ka1,...,kan)

für alle (a1,...,an), (b1,...,bn) aus Kn und alle k aus K.

Bei (Kn,+) handelt es sich also um nichts anderes als das n-fache direkte Produkt der abelschen Gruppe (K,+) und daher selbst um eine abelsche Gruppe. Für die äußere Verknüpfung (2) bestätigt man mit Hilfe der Rechengesetze im Körper (K,+,*) sofort die Vektorraumaxiome. Also ist Kn ein Vektorraum, der arithmetische Vektorraum der Dimension n über (K,+,*).


Speziell für den Körper (R,+,*) der reellen Zahlen erhält man im Fall n = 2 die bekannte euklidische Ebene und im Fall n = 3 den dreidimensionalen euklidischen (Anschauungs-)Raum.


Die n Vektoren ei = (0,...,0,1,0,...,0), für i=1,...,n, wobei genau an der i-ten Koordinate das Einselement 1 von (K,+,*) und sonst überall das Nullelement 0 steht, bilden offensichtlich eine Basis des Kn, was die obige Bezeichnung rechtfertigt.