BCK-Algebren

Unter einer BCK-Algebra $(H,*,0)$ versteht man ein Gruppoid $(H,*)$ mit einem ausgezeichneten Element $0$ aus $H$ , so daß die folgenden Axiome für alle $x, y, z$ aus $H$ erfüllt sind.

(1) $0 * x = 0$ , d. h. $0$ ist linksabsorbierend,

(2) $x * y = 0$ und $y * x = 0$ implizieren $x = y,$

(3) $x * x = 0,$

(4) $((x * y) * (x * z)) * (z * y) = 0,$

(5) $(x * (x * y)) * y = 0.$

Folgerung. In jeder BCK-Algebra $(H,*,0)$ gelten für alle $x, y, z$ aus $H$ die Aussagen

(6) $x * y = 0$ impliziert $(z * y) *
(z * x) = 0,$

(7) $x * y = 0$ und $y * z = 0$ implizieren $x * z = 0,$

(8) $(x * y) * z = (x * z) * y,$

(6') $x * y = 0$ impliziert $(x * z) * (y * z) = 0,$

(9) $(x * y) * x = 0,$

(10) $x * 0 = x,$ d. h. $0$ ist rechtsneutral.

Beweis. (6): Aus $x * y = 0$ folgt mit (1) unmittelbar $(x * y) * [(z * y) * (z * x)] = 0.$ Wegen (4) gilt aber auch $[(z * y) * (z * x)] * (x * y) = 0.$ Nun folgt mit (2) $(z * y) * (z * x) = x * y = 0.$

(7): Aus $x * y = 0$ folgt mit (1) sofort $(x * y) * (x * z) = 0$ und aus $y * z = 0$ folgt mit (6) andererseits $(x * z) * (x * y) = 0.$ Wegen (2) heißt dies $x * z = x * y = 0$ .

(8): Zunächst folgt aus (4) und (6)

$(u * (z * y)) * (u * ((x * y) * (x * z))) = 0$

für alle $u, x, y, z$ aus $H$ .

Substituiert man hierin $x = x * u$ , $z = x * z$ und $u = ((x * u) * y) * (z * u)$ , so ergibt sich

(*) $(((x*u)*y)*(z*u)*((x*z)*y))*
[((x*u)*y)*(z*u)*(((x*u)*y)*((x*u)*(x*z)))] = 0.$

Wiederum aufgrund von (4) gilt $((x * u) * (x * z)) * (z * u) = 0$ , was mit (6) nach Multiplikation mit $((x * u) * y)$ zu

$[((x * u) * y) * (z * u) * (((x * u) * y) * ((x * u) * (x * z)))] = 0$

führt. Aufgrund von (1) und (2) impliziert dies $(((x * u) * y) * (z * u) * ((x * z) * y)) = 0$ für den rechten Faktor von (*). Substituiert man hierin $u = z$ und $z = x * y$ , so ergibt sich

$((x * z) * y) * ((x * y) * z) * ((x * (x * y)) * y) = 0.$

Wegen (5) gilt für den rechten Faktor $((x * (x * y)) * y) = 0$ , woraus mit (1) und (2) $((x * z) * y) * ((x * y) * z) = 0$ auch für den linken Faktor folgt. Da dies für alle $x, y,
z$ aus $H$ gilt, darf man hierin $y$ und $z$ vertauschen. Dann liefert (2) aber die behauptete Gleichheit (8).

(6'): Mit (8) und (4) folgt $((x * z) * (y * z)) * (x * y) = ((x * z) * (x * y)) * (y * z) = 0,$ woraus sich wegen $x * y = 0$ mit (2) die Behauptung ergibt.

(9): Mit (8), (3) und (1) folgt $(x * y) * x = (x * x) * y
= 0 * y = 0.$

(10): Aus (9) folgt $(x * 0) * x = 0,$ und aus (5) folgt $(x * (x * 0)) * 0 = 0.$ Hieraus ergibt sich mit (1) und (2) aber $x * (x * 0) = 0$ , was mit $(x * 0) * x = 0$ und (5) die Behauptung ergibt.

Satz. In jeder BCK-Algebra $(H,*,0)$ sind die folgenden beiden Bedingungen äquivalent.

(11) $(x * z) * (y * z) = (x * y) * z,$ d. h. $*$ ist rechtsdistributiv über sich selbst,

(12) $x * y = (x * y) * y.$

jeweils für alle $x, y, z$ aus $H$ .

Beweis. (11) => (12): Aus (11) folgt jedenfalls $(x * z) * (z * z) = (x * z) * z,$ also mit (3) und (10) schon $x * z = (x * z) * z$ , was nichts anderes als (12) ist.

(12) => (11): Zunächst gilt $(y * z) * y = 0$ nach (9). Multipliziert man beide Faktoren mit $x * z$ , so folgt nach (6) $((x * z) * y) * [(x * z) * (y * z)] = 0$ und mit (8) dann

(*) $((x * y) * z) * [(x * z) * (y * z)] = 0,$

wobei (12) noch nicht verwendet wurde. Zeigt man jetzt noch

(**) $[(x * z) * (y * z)] * ((x * y) * z) = 0,$

so folgt (11) aus (2). Jedenfalls ergibt sich aus (4), wenn man $x * z$ für $x$ , $y * z$ für $y$ und $y$ für $z$ substituiert, zunächst

$(((x * z) * (y * z)) * ((x * z) * y)) * (y * (y * z)) = 0.$

Weiterhin gilt $(y * (y * z)) * z = 0$ wegen (5). Aus beiden Gleichungen ergibt sich mit (7) dann

$(((x * z) * (y * z)) * ((x * z) * y)) * z = 0.$

Zweimalige Anwendung von (8) liefert

$(((x * z) * z) * (y * z)) * ((x * z) * y) = 0.$

Wendet man nochmals (8) auf den rechten Faktor an und berücksichtigt, daß wegen (12) auch $(x * z) * z = x * z$ gilt, so ist dies bereits (**).

Eine BCK-Algebra $(H,*,0)$ heißt positiv implikativ, wenn sie eine der beiden gleichwertigen Bedingungen (11) oder (12) erfüllt. Daher ist jede positiv implikative BCK-Algebra eine Hilbert-Algebra. Da hiervon auch die Umkehrung gilt, sind die Hilbert-Algebren genau die positiv implikativen BCK-Algebren.

Eine BCK-Algebra

(H,*,0)

heißt kommutativ, wenn

(13) $x * (x * y) = y * (y * x)$

für alle $x, y$ aus $H$ erfüllt ist.

Satz. Ein Gruppoid $(H,*)$ mit einem ausgezeichneten Element $0$ aus $H$ ist genau dann eine kommutative BCK-Algebra, wenn (3), (8), (10) und (13) erfüllt sind.

Beweis. Jedenfalls gelten alle diese Axiome in jeder kommutativen BCK-Algebra, wie oben gezeigt wurde.

Es seien also alle diese Bedingungen erfüllt. Ersichtlich folgt (5) dann aus (8) und (3). Mit (3), (8) und (13) ergibt sich $0 = (0 * x) * (0 * x) = (0 * (0 * x)) * x = (x * (x * 0)) * x
= (x * x) * (x * 0) = 0 * (x * 0) = 0 * x$ , also (1). Weiterhin folgt aus $x * y = 0$ und $y * x = 0$ mit (10) und (13) sofort $x = x * 0 = x * (x * y) = y * (y * x) = y * 0 = y$ , also (2). Schließlich gilt $((x * y) * (x * z)) * (z * y) =
((x * (x * z)) * y) * (z * y) = ((z * (z * x)) * y) * (z * y) =
((z * y) * (z * x)) * (z * y) = ((z * y) * (z * y)) * (z * x) =
0 * (z * x) = 0$ , also (4).

Satz. In jeder kommutativen BCK-Algebra $(H,*,0)$ ist (12) gleichwertig zu

(14) $x * (y * x) = x$

für alle

x, y

aus

H

Beweis. (12) => (14): Es gilt mit (13), (12) und (3) $x * (x * (y * x)) = (y * x) * ((y * x) * x)) = (y * x) * (y * x) = 0$ und mit (8), (3) und (1) $(x * (y * x)) * x = (x * x) * (y * x) = 0 * (y * x)
= 0$ . Dann impliziert (2) aber (14).

(14) => (12): Wegen (8) gilt $((x * y) * y) * (x * y) = 0$ und wegen (13), (14) und (3) gilt auch $(x * y) * ((x * y) * y) = y * (y * (x * y))
= y * y = 0$ . Wiederum impliziert (2) dann (12).

Eine BCK-Algebra $(H,*,0)$ , in der (14) gilt heißt implikativ.

Satz. Jede implikative BCK-Algebra $(H,*,0)$ ist kommutativ und damit positiv implikativ.

Beweis. Für alle $x, y, z, u$ aus $H$ folgt mit (4) $[(x * (y*z)) * (x * (y*u)] * ((y*u) * (y*z)) = 0$ und $((y*u) * (y*z)) * (z * u) = 0$ . Aus (7) ergibt sich daher $[(x * (y*z)) * (x * (y*u)] * (z * u) = 0$ und mit (8) dann $[(x * (y * z)) * (z * u)} * (x * (y * u)) = 0$ . Substituiert man hierin $y = x$ , $z = y$ und $u = y * x$ , so ergibt sich $[(x * (x * y)) * (y * (y * x))]
* (x * (x * (y * x))) = 0$ . Der rechte Faktor hierin ist wegen (14) und (3) aber gleich 0, so daß wegen (10) auch der linke Faktor gleich 0 sein muß. Hieraus ergibt (nach Vertauschung von $x$ und $y$ ) mit (2) gerade (13).

Insbesondere ist wegen dieses Satzes jede implikative BCK-Algebra eine (rechtsseitige) Implikationsalgebra. Da auch die Umkehrung hiervon gilt, sind die implikativen BCK-Algebren genau die (rechtsseitigen) Implikationsalgebren.

Eine BCK-Algebra $(H,*,0)$ heißt beschränkt, wenn ein Element 1 aus $H$ existiert, so daß für alle $x$ aus $H$ gilt

(15) $x * 1 = 0.$

Folgerung. In jeder beschränkten BCK-Algebra $(H,*,0,1)$ gelten die folgenden Aussagen.

(16) $1 * 1 = 0 und 1 * 0 = 1$ ,

(17) $(1 * (1 * x)) * x = 0$ ,

(18) $((1 * x) * (1 * y)) * (y * x) = 0$ ,

(19) $x * y = 0$ impliziert $(1 * y) * (1 * x) = 0$ ,

(20) $(1 * x) * y = (1 * y) * x$ ,

(21) $x * (x * 1) = x$ ,

(22) $(1 * (1 * (1 * x))) = 1 * x$ .

Ist $(H,*,0)$ sogar kommutativ, so gilt

(23) $(1 * (1 * x)) = x$ .

Beweis: (16): Folgt aus (15) und (10).

(17): Folgt aus (8) und (3).

(18): Folgt aus (4).

(19): Folgt aus (6).

(20): Folgt aus (8).

(21): Folgt aus (15) und (10).

(22): Aus (17) und (6) folgt $(1 * x) * (1 * (1 * (1 * x))) = 0$ , aus (17) allein $(1 * (1 * (1 * x))) * (1 * x) = 0$ . Mit (2) folgt dann (22).

(23): Dies ergibt sich aus $x * (1 * (1 * x)) = x * (x * (x * 1)) =
x * (x * 0) = x * x = 0$ und (17) mittels (2).

Satz. Es sei $(H,*,0,1)$ eine beschränkte kommutative BCK-Algebra. Definiert man die folgenden Verknüpfungen für alle $x, y$ aus $H$

(24) $x' = 1*x$ ,

(25) $x$ y = x * (x * y),

(26) $x$ y = (x' y')',

so ist $(H,$ ,,',0,1) ein beschränkter Verband, in dem noch folgende Axiome erfüllt sind.

(27) $1' = 0 und 0' = 1$ ,

(28) $(x')' = x$ ,

(29) $x'$ y' = (x y)',

(30) $x'$ y' = (x y)'.

Beweis. Jedenfalls ist wegen (13) kommutativ und wegen (3) und (10) idempotent. Daher ist auch kommutativ und wegen (28), was allein aus (23) folgt, idempotent. Außerdem gilt $1$ y = 1 * (1 * y) = y wegen (23) und damit $0$ y = (0' y')' = (1 y')' = (y')' = y, d. h. $1$ ist größtes Element und $0$ kleinstes Element in $(H,$ ,,',0,1), sobald die restlichen Verbandsaxiome gezeigt sind.

(27): Dies ist (16).

(28): Dies ist (23).

(29): Nach (26) und (28) gilt $x'$ y' = ((x')' (y')')' = (x y)'.

(30): Ebenfalls nach (28) und (26) gilt $(x$ y)' = ((x' y')')' = x' y'.

Satz. In einer beschränkten kommutativen BCK-Algebra $(H,*,0,1)$ definiert (24) genau dann für alle $x$ aus $H$ ein Komplement $x'$ , wenn (14) erfüllt ist, $(H,*,0,1)$ also eine implikative BCK-Algebra ist.

Beweis. (Ist noch zu formulieren!)

Satz. Jede beschränkte implikative BCK-Algebra ist eine Boolesche Algebra.

Beweis. Es bleibt über den vorherigen Satz hinaus nur die Distributivität von $(H,$ ,,',0,1) zu zeigen.