BCK-Algebren


Unter einer BCK-Algebra (H,*,0) versteht man ein Gruppoid (H,*) mit einem ausgezeichneten Element 0 aus H, so daß die folgenden Axiome für alle x, y, z aus H erfüllt sind.

(1)  0 * x = 0,  d. h. 0 ist linksabsorbierend,

(2)  x * y = 0   und   y * x = 0  implizieren  x = y,

(3)  x * x = 0,

(4)  ((x * y) * (x * z)) * (z * y) = 0,

(5)  (x * (x * y)) * y = 0.


Folgerung. In jeder BCK-Algebra (H,*,0) gelten für alle x, y, z aus H die Aussagen

(6)  x * y = 0   impliziert  (z * y) * (z * x) = 0,

(7)  x * y = 0   und   y * z = 0  implizieren  x * z = 0,

(8)  (x * y) * z = (x * z) * y,

(6')  x * y = 0  impliziert   (x * z) * (y * z) = 0,

(9)  (x * y) * x = 0,

(10)  x * 0 = x,  d. h. 0 ist rechtsneutral.

Beweis. (6): Aus x * y = 0 folgt mit (1) unmittelbar (x * y) * [(z * y) * (z * x)] = 0. Wegen (4) gilt aber auch [(z * y) * (z * x)] * (x * y) = 0. Nun folgt mit (2) (z * y) * (z * x) = x * y = 0.

(7): Aus x * y = 0 folgt mit (1) sofort (x * y) * (x * z) = 0 und aus y * z = 0 folgt mit (6) andererseits (x * z) * (x * y) = 0. Wegen (2) heißt dies x * z = x * y = 0.

(8): Zunächst folgt aus (4) und (6)

(u * (z * y)) * (u * ((x * y) * (x * z))) = 0

für alle u, x, y, z aus H.

Substituiert man hierin x = x * u, z = x * z und u = ((x * u) * y) * (z * u), so ergibt sich

(*) (((x*u)*y)*(z*u)*((x*z)*y))* [((x*u)*y)*(z*u)*(((x*u)*y)*((x*u)*(x*z)))] = 0.

Wiederum aufgrund von (4) gilt ((x * u) * (x * z)) * (z * u) = 0, was mit (6) nach Multiplikation mit ((x * u) * y) zu

[((x * u) * y) * (z * u) * (((x * u) * y) * ((x * u) * (x * z)))] = 0

führt. Aufgrund von (1) und (2) impliziert dies (((x * u) * y) * (z * u) * ((x * z) * y)) = 0 für den rechten Faktor von (*). Substituiert man hierin u = z und z = x * y, so ergibt sich

((x * z) * y) * ((x * y) * z) * ((x * (x * y)) * y) = 0.

Wegen (5) gilt für den rechten Faktor ((x * (x * y)) * y) = 0, woraus mit (1) und (2) ((x * z) * y) * ((x * y) * z) = 0 auch für den linken Faktor folgt. Da dies für alle x, y, z aus H gilt, darf man hierin y und z vertauschen. Dann liefert (2) aber die behauptete Gleichheit (8).

(6'): Mit (8) und (4) folgt ((x * z) * (y * z)) * (x * y) = ((x * z) * (x * y)) * (y * z) = 0, woraus sich wegen x * y = 0 mit (2) die Behauptung ergibt.

(9): Mit (8), (3) und (1) folgt (x * y) * x = (x * x) * y = 0 * y = 0.

(10): Aus (9) folgt (x * 0) * x = 0, und aus (5) folgt (x * (x * 0)) * 0 = 0. Hieraus ergibt sich mit (1) und (2) aber x * (x * 0) = 0, was mit (x * 0) * x = 0 und (5) die Behauptung ergibt.


Satz. In jeder BCK-Algebra (H,*,0) sind die folgenden beiden Bedingungen äquivalent.

(11)  (x * z) * (y * z) = (x * y) * z,  d. h. * ist rechtsdistributiv über sich selbst,

(12)  x * y = (x * y) * y.

jeweils für alle x, y, z aus H.

Beweis. (11) => (12): Aus (11) folgt jedenfalls (x * z) * (z * z) = (x * z) * z, also mit (3) und (10) schon x * z = (x * z) * z, was nichts anderes als (12) ist.

(12) => (11): Zunächst gilt (y * z) * y = 0 nach (9). Multipliziert man beide Faktoren mit x * z, so folgt nach (6) ((x * z) * y) * [(x * z) * (y * z)] = 0 und mit (8) dann

(*)  ((x * y) * z) * [(x * z) * (y * z)] = 0,

wobei (12) noch nicht verwendet wurde. Zeigt man jetzt noch

(**)  [(x * z) * (y * z)] * ((x * y) * z) = 0,

so folgt (11) aus (2). Jedenfalls ergibt sich aus (4), wenn man x * z für x, y * z für y und y für z substituiert, zunächst

 (((x * z) * (y * z)) * ((x * z) * y)) * (y * (y * z)) = 0.

Weiterhin gilt (y * (y * z)) * z = 0 wegen (5). Aus beiden Gleichungen ergibt sich mit (7) dann

 (((x * z) * (y * z)) * ((x * z) * y)) * z = 0.

Zweimalige Anwendung von (8) liefert

 (((x * z) * z) * (y * z)) * ((x * z) * y) = 0.

Wendet man nochmals (8) auf den rechten Faktor an und berücksichtigt, daß wegen (12) auch (x * z) * z = x * z gilt, so ist dies bereits (**).


Eine BCK-Algebra (H,*,0) heißt positiv implikativ, wenn sie eine der beiden gleichwertigen Bedingungen (11) oder (12) erfüllt. Daher ist jede positiv implikative BCK-Algebra eine Hilbert-Algebra. Da hiervon auch die Umkehrung gilt, sind die Hilbert-Algebren genau die positiv implikativen BCK-Algebren.


Eine BCK-Algebra (H,*,0) heißt kommutativ, wenn

(13) x * (x * y) = y * (y * x)

für alle x, y aus H erfüllt ist.

Satz. Ein Gruppoid (H,*) mit einem ausgezeichneten Element 0 aus H ist genau dann eine kommutative BCK-Algebra, wenn (3), (8), (10) und (13) erfüllt sind.

Beweis. Jedenfalls gelten alle diese Axiome in jeder kommutativen BCK-Algebra, wie oben gezeigt wurde.

Es seien also alle diese Bedingungen erfüllt. Ersichtlich folgt (5) dann aus (8) und (3). Mit (3), (8) und (13) ergibt sich 0 = (0 * x) * (0 * x) = (0 * (0 * x)) * x = (x * (x * 0)) * x = (x * x) * (x * 0) = 0 * (x * 0) = 0 * x, also (1). Weiterhin folgt aus x * y = 0 und y * x = 0 mit (10) und (13) sofort x = x * 0 = x * (x * y) = y * (y * x) = y * 0 = y, also (2). Schließlich gilt ((x * y) * (x * z)) * (z * y) = ((x * (x * z)) * y) * (z * y) = ((z * (z * x)) * y) * (z * y) = ((z * y) * (z * x)) * (z * y) = ((z * y) * (z * y)) * (z * x) = 0 * (z * x) = 0, also (4).

Satz. In jeder kommutativen BCK-Algebra (H,*,0) ist (12) gleichwertig zu

(14) x * (y * x) = x

für alle x, y aus H.

Beweis. (12) => (14): Es gilt mit (13), (12) und (3) x * (x * (y * x)) = (y * x) * ((y * x) * x)) = (y * x) * (y * x) = 0 und mit (8), (3) und (1) (x * (y * x)) * x = (x * x) * (y * x) = 0 * (y * x) = 0. Dann impliziert (2) aber (14).

(14) => (12): Wegen (8) gilt ((x * y) * y) * (x * y) = 0 und wegen (13), (14) und (3) gilt auch (x * y) * ((x * y) * y) = y * (y * (x * y)) = y * y = 0. Wiederum impliziert (2) dann (12).


Eine BCK-Algebra (H,*,0), in der (14) gilt heißt implikativ.

Satz. Jede implikative BCK-Algebra (H,*,0) ist kommutativ und damit positiv implikativ.

Beweis. Für alle x, y, z, u aus H folgt mit (4) [(x * (y*z)) * (x * (y*u)] * ((y*u) * (y*z)) = 0 und ((y*u) * (y*z)) * (z * u) = 0. Aus (7) ergibt sich daher [(x * (y*z)) * (x * (y*u)] * (z * u) = 0 und mit (8) dann [(x * (y * z)) * (z * u)} * (x * (y * u)) = 0. Substituiert man hierin y = x, z = y und u = y * x, so ergibt sich [(x * (x * y)) * (y * (y * x))] * (x * (x * (y * x))) = 0. Der rechte Faktor hierin ist wegen (14) und (3) aber gleich 0, so daß wegen (10) auch der linke Faktor gleich 0 sein muß. Hieraus ergibt (nach Vertauschung von x und y) mit (2) gerade (13).


Insbesondere ist wegen dieses Satzes jede implikative BCK-Algebra eine (rechtsseitige) Implikationsalgebra. Da auch die Umkehrung hiervon gilt, sind die implikativen BCK-Algebren genau die (rechtsseitigen) Implikationsalgebren.


Eine BCK-Algebra (H,*,0) heißt beschränkt, wenn ein Element 1 aus H existiert, so daß für alle x aus H gilt

(15) x * 1 = 0.

Folgerung. In jeder beschränkten BCK-Algebra (H,*,0,1) gelten die folgenden Aussagen.

(16) 1 * 1 = 0 und 1 * 0 = 1 ,

(17) (1 * (1 * x)) * x = 0 ,

(18) ((1 * x) * (1 * y)) * (y * x) = 0 ,

(19) x * y = 0 impliziert (1 * y) * (1 * x) = 0,

(20) (1 * x) * y = (1 * y) * x,

(21) x * (x * 1) = x,

(22) (1 * (1 * (1 * x))) = 1 * x.

Ist (H,*,0) sogar kommutativ, so gilt

(23) (1 * (1 * x)) = x.

Beweis: (16): Folgt aus (15) und (10).

(17): Folgt aus (8) und (3).

(18): Folgt aus (4).

(19): Folgt aus (6).

(20): Folgt aus (8).

(21): Folgt aus (15) und (10).

(22): Aus (17) und (6) folgt (1 * x) * (1 * (1 * (1 * x))) = 0, aus (17) allein (1 * (1 * (1 * x))) * (1 * x) = 0. Mit (2) folgt dann (22).

(23): Dies ergibt sich aus x * (1 * (1 * x)) = x * (x * (x * 1)) = x * (x * 0) = x * x = 0 und (17) mittels (2).

Satz. Es sei (H,*,0,1) eine beschränkte kommutative BCK-Algebra. Definiert man die folgenden Verknüpfungen für alle x, y aus H

(24) x' = 1*x,

(25) x y = x * (x * y),

(26) x y = (x' y')',

so ist (H,,,',0,1) ein beschränkter Verband, in dem noch folgende Axiome erfüllt sind.

(27) 1' = 0 und 0' = 1,

(28) (x')' = x,

(29) x' y' = (x y)',

(30) x' y' = (x y)'.

Beweis. Jedenfalls ist wegen (13) kommutativ und wegen (3) und (10) idempotent. Daher ist auch kommutativ und wegen (28), was allein aus (23) folgt, idempotent. Außerdem gilt 1 y = 1 * (1 * y) = y wegen (23) und damit 0 y = (0' y')' = (1 y')' = (y')' = y, d. h. 1 ist größtes Element und 0 kleinstes Element in (H,,,',0,1), sobald die restlichen Verbandsaxiome gezeigt sind.

(27): Dies ist (16).

(28): Dies ist (23).

(29): Nach (26) und (28) gilt x' y' = ((x')' (y')')' = (x y)'.

(30): Ebenfalls nach (28) und (26) gilt (x y)' = ((x' y')')' = x' y'.

Satz. In einer beschränkten kommutativen BCK-Algebra (H,*,0,1) definiert (24) genau dann für alle x aus H ein Komplement x', wenn (14) erfüllt ist, (H,*,0,1) also eine implikative BCK-Algebra ist.

Beweis. (Ist noch zu formulieren!)

Satz. Jede beschränkte implikative BCK-Algebra ist eine Boolesche Algebra.

Beweis. Es bleibt über den vorherigen Satz hinaus nur die Distributivität von (H,,,',0,1) zu zeigen.