Beschränkte Halbverbände und Verbände


Ein Halbverband, also eine kommutative und idempotente Halbgruppe (H,), heißt nach unten beschränkt, wenn ein absorbierendes Element o in (H,) existiert, d. h. wenn

(1)

a o = o

für alle a aus H gilt. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn o in der zugehörigen partiell geordneten Menge (H,<=) (mit a <= b genau dann, wenn a b = a gilt) das kleinste Element ist, also eine untere Schranke von H.

Entsprechend heißt (H,) nach oben beschränkt, wenn (H,<=) ein größtes Element e, also eine obere Schranke von H besitzt. Dies ist wiederum gleichwertig damit, daß e neutrales Element von (H,) ist, d. h. daß

(2)

a e = a

für alle a aus H gilt. Ist (H,) sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt, so nennt man (H,) beschränkt.


Die entsprechenden Begriffsbildungen werden für Verbände (V,,) gebraucht. Wegen der Gleichwertigkeit von a b = a mit a <= b und a b = b für alle a, b aus V kann man in einem Verband eine untere Schranke o auch durch

(1')

a o = a

und eine obere Schranke e durch

(2')

a e = e

jeweils für alle a aus V charakterisieren.

Man bezeichnet in den genannten Fällen o auch oft mit 0 und e mit 1, und nennt insbesondere beschränkte Verbände auch Verbände mit Null (0) und Eins (1).