Beschränkte Halbverbände und Verbände

Ein Halbverband, also eine kommutative und idempotente Halbgruppe $(H,$), heißt nach unten beschränkt, wenn ein absorbierendes Element $o$ in $(H,$) existiert, d. h. wenn

(1)

$a$ o = o

für alle $a$ aus $H$ gilt. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn $o$ in der zugehörigen partiell geordneten Menge (mit genau dann, wenn $a$ b = a gilt) das kleinste Element ist, also eine untere Schranke von $H$.

Entsprechend heißt $(H,$) nach oben beschränkt, wenn ein größtes Element $e$, also eine obere Schranke von $H$ besitzt. Dies ist wiederum gleichwertig damit, daß $e$ neutrales Element von $(H,$) ist, d. h. daß

(2)

$a$ e = a

für alle $a$ aus $H$ gilt. Ist $(H,$) sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt, so nennt man $(H,$) beschränkt.

Die entsprechenden Begriffsbildungen werden für Verbände $(V,$,) gebraucht. Wegen der Gleichwertigkeit von $a$ b = a mit und $a$ b = b für alle $a,\; b$ aus $V$ kann man in einem Verband eine untere Schranke $o$ auch durch

(1')

$a$ o = a

und eine obere Schranke $e$ durch

(2')

$a$ e = e

jeweils für alle $a$ aus $V$ charakterisieren.

Man bezeichnet in den genannten Fällen $o$ auch oft mit 0 und $e$ mit 1, und nennt insbesondere beschränkte Verbände auch Verbände mit Null (0) und Eins (1).