Bewegungsgruppen in euklidischen Räumen


Unter dem n-dimensionalen euklidischen Raum Enversteht man den arithmetischen Vektorraum (Rn,+) über dem Körper (R,+,*) der reellen Zahlen, versehen mit der Standardbasis ei = (0,...,0,1,0,...,0) für i = 1,...,n und dem Standardskalarprodukt

(1)

< (a1,...,an), (b1,...,bn)> = a1*b1+...+an*bn,

sowie der daraus abgeleiteten Norm || x || und der zugehörigen Metrik d(x,y) = || x - y || .


Eine Abbildung B : En -> En heißt abstandserhaltend oder eine Bewegung, wenn für alle x, y aus En gilt

(2)

|| B(x) - B(y) || = || x - y ||.

Aufgrund der Definitheit der Norm ist jede Bewegung ersichtlich injektiv und einfachste Beispiele für Bewegungen sind, neben der identischen Abbildung, die Translationen von (Rn,+). Weiterhin ist offensichtlich die Nacheinanderanwendung von Bewegungen wieder eine Bewegung und die Menge aller Bewegungen AO(Rn) daher ein Untermonoid des Transformationsmonoids (TRn,o).


Eine Abbildung A : En -> En heißt Skalarprodukt-erhaltend oder orthogonal, wenn für alle x, y aus En gilt

(3)

<A(x),A(y)> = <x,y>.

Hilfssatz 1: Jede Abbildung A : En -> En mit (3) ist linear, also eine orthogonale Abbildung im Sinne der Linearen Algebra. Weiterhin ist jede orthogonale Abbildung eine Bewegung und als injektive lineare Abbildung des (Rn,+) in sich bereits ein Automorphismus.

Beweis: Aus (2) folgt für x = y aus der Definition der Norm sofort || A(x) || = || x || für alle x aus En, also die Normtreue von A. Daher bilden die Bilder A(ei) der Standard-Orthonormalbasis ebenfalls wieder eine Orthonormalbasis von En. Ist nun x = x1e1 + ... + xnen ein beliebiger Vektor des En, so folgt aus xi = < x,ei> = < A(x),A(ei) > auch A(x) = x1A(e1) + ... + xnA(en) bezüglich dieser zweiten Orthonormalbasis. Hieraus lassen sich die beiden Linearitätseigenschaften von A sofort leicht nachrechnen. Jede normtreue lineare Abbildung ist aber wegen || A(x) - A(y) || = || A(x - y) || = || x - y || eine Bewegung. Damit sind alle anderen Aussagen klar.

Satz: a) Ist B : En -> En eine Bewegung mit B(o) = o, so ist B eine orthogonale Abbildung.

b) Ist B : En -> En eine Bewegung mit einem Fixpunkt a, d. h. gilt B(a) = a, so existiert eine orthogonale Abbildung A : En -> En mit B = ta o A o t-a.

c) Ist B : En -> En eine beliebige Bewegung, dann gibt es eine orthogonale Abbildung A : En -> En und eine Translation ta mit B = ta o A. Also ist B ein affiner Automorphismus und daher sind die zugehörige orthogonale Abbildung und die Translation sogar eindeutig bestimmt.

d) Jede Bewegung ist bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist wieder eine Bewegung. Daher bildet die Menge aller Bewegungen eine Untergruppe (AO(Rn),o) der affinen Automorphismengruppe (AGL(Rn),o)

.

Beweis: a) Aus (2) und B(o) = o folgt sofort die Normtreue von B. Damit folgt aber

2*<x,y> = ||x - y||2 - ||x||2 - ||y||2 = ||B(x) - B(y)||2 - ||B(x)||2 - ||B(y)||2 = 2*<B(x),B(y)>

für alle x, y aus En und daher die Orthogonalität.

b) Nach den obigen Bemerkungen ist jedenfalls A = t-a o B o ta eine Bewegung, die A(o) = o erfüllt. Also ist nach a) diese Bewegung orthogonal.

c) Setzt man a = B(o), so ist jedenfalls B o t-a eine Bewegung mit B o t-a(a) = B(o) =a. Daher existiert nach b) eine orthogonale Abbildung A : En -> En mit B o t-a = ta o A o t-a . Also gilt bereits B = ta o A

d) Wegen der in c) bewiesenen Eigenschaft jeder Bewegung sind alle Bewegungen bijektiv. Da die Umkehrabbildung einer orthogonalen Abbildung selbst wieder orthogonal ist, ist auch die Umkehrabbildung jeder Bewegung wieder eine Bewegung, nämlich B-1 = (ta o A)-1 = A-1 o t-a = t-A-1(a) o A-1. Damit ist aber alles gezeigt.


Eine Bewegung B = ta o A heißt eigentlich oder orientierungserhaltend, wenn det(A) = 1 gilt, sonst uneigentlich oder orientierungsumkehrend.

Mit Hilfe des obigen Satzes und der aus der Linearen Algebra bekannten Charakterisierungen der (linearen) orthogonalen Abbildungen erhält man die folgenden Beschreibungen sämtlicher Bewegungen des E2 bzw. E3:

Es sei B = ta o A eine Bewegung von V = E2 bzw. V = E3 wie in c). Weiterhin sei F = { x aus V | A(x) = x }, also die Menge aller Fixpunkte des linearen Anteils von B. Schließlich sei a = v + w eine Zerlegung von a in einen Anteil v aus F und einen Anteil w, der orthogonal zu F ist. Dann gibt es ein b aus V mit (idV - A)(x) = w. Für jedes derartige b gilt B = tb o tv o A o t-b.

Beim Beweis zeigt man zuerst, daß die lineare Abbildung (idV - A) den zu F orthogonalen Unterraum von V in sich abbildet. Da F der Kern dieser linearen Abbildung ist, ist ihre Einschränkung auf den zu F orthogonalen Unterraum injektiv und daher sogar bijektiv. Daher hat das lineare Gleichungssystem (idV - A)(x) = w Lösungen b. Für diese gilt aber tb o tv o A o t-b = tb + v - A(b) o A = tw + v o A = ta o A = B.

Für V = E2 gibt es folgende Möglichkeiten:

1) A = idV: Dann ist B eine Translation.

2) A /= idV, det(A) = 1: Dann ist B eine Drehung mit dem Drehzentrum b.

3) det(A) = -1: Dann ist B eine Gleitspiegelung an der Achse b + F

Für V = E3 gibt es folgende Möglichkeiten:

1) A = idV: Dann ist B eine Translation.

2) A /= idV, det(A) = 1: Dann ist B eine Schraubung mit der Achse b + F.

3) det(A) = -1, A keine Spiegelung: Dann ist B eine Drehspiegelung mit dem einzigen Fixpunkt b.

4) A ist eine Spiegelung: Dann ist B eine Gleitspiegelung an der Ebene b + F


Jede Unterguppe (G,o) von (AO(Rn),o) nennt man eine Bewegungsgruppe des En. Sie heißt diskret, wenn für jeden Punkt x des En und für jede reelle Zahl r > 0 und für jeden Punkt y des En die r-Umgebung Ur(y) = { z aus En | || z - y || < r } nur endlich viele Punkte des Orbits G(x) = { g(x) | g aus G } von x enthält.


Beispiele diskreter Bewegungsgruppen

Die diskreten Bewegungsgruppen des eindimensionalen euklidischen Raumes.

Die diskreten Bewegungsgruppen der euklidischen Ebene.

Die diskreten Bewegungsgruppen des dreidimensionalen euklidischen Raumes.


Weiterführende Literatur

  • L. Fejes Toth, Reguläre Figuren, Teubner Verlag, Leipzig, 1965.

  • J. Flachsmeyer, U. Feiste, K. Manteuffel, Mathematik und ornamentale Kunstformen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/Main, 1990. ISBN 3-8171-1157-6

  • H. Kinder, U. Spengler, Die Bewegungsgruppe einer euklidischen Ebene, Teubner Verlag, Stuttgart, 1980. ISBN 3-519-02710-0

  • M. Klemm, Symmetrien von Ornamenten und Kristallen, Springer Verlag, Berlin, 19802. ISBN 3-540-11644-3.

  • E. Quaisser, Diskrete Geometrie, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1994. ISBN 3-86025-309-3.

  • A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Springer Verlag, Berlin 1937.

  • H. Weyl, Symmetrie, Birkhäuser Verlag, Basel 1955.