Bewegungsgruppen in euklidischen Räumen

Unter dem n-dimensionalen euklidischen Raum $E$_nversteht man den arithmetischen Vektorraum $(Rn,+)$ über dem Körper $(R,+,*)$ der reellen Zahlen, versehen mit der Standardbasis $$e_i = (0,...,0,1,0,...,0) für $i\; =\; 1,...,n$ und dem Standardskalarprodukt

(1)

sowie der daraus abgeleiteten Norm $||$x || und der zugehörigen Metrik $d($x,y) = || x - y || .

Eine Abbildung $B\; :\; E$_n -> E_n heißt abstandserhaltend oder eine Bewegung, wenn für alle $$x, y aus $E$_n gilt

Aufgrund der Definitheit der Norm ist jede Bewegung ersichtlich injektiv und einfachste Beispiele für Bewegungen sind, neben der identischen Abbildung, die Translationen von $(Rn,+)$. Weiterhin ist offensichtlich die Nacheinanderanwendung von Bewegungen wieder eine Bewegung und die Menge aller Bewegungen $AO(Rn)$ daher ein Untermonoid des Transformationsmonoids $(T$_Rⁿ,o).

Eine Abbildung $A\; :\; E$_n -> E_n heißt Skalarprodukt-erhaltend oder orthogonal, wenn für alle $$x, y aus $E$_n gilt

(3)

Hilfssatz 1: Jede Abbildung $A\; :\; E$_n -> E_n mit (3) ist linear, also eine orthogonale Abbildung im Sinne der Linearen Algebra. Weiterhin ist jede orthogonale Abbildung eine Bewegung und als injektive lineare Abbildung des $(Rn,+)$ in sich bereits ein Automorphismus.

Beweis: Aus (2) folgt für $$x = y aus der Definition der Norm sofort $||\; A($x) || = || x || für alle $$x aus $E$_n, also die Normtreue von $A$. Daher bilden die Bilder $A($e_i) der Standard-Orthonormalbasis ebenfalls wieder eine Orthonormalbasis von $E$_n. Ist nun $$x = x₁e₁ + ... + x_ne_n ein beliebiger Vektor des $E$_n, so folgt aus $x$_i = < x,e_i> = < A(x),A(e_i) > auch $A($x) = x₁A(e₁) + ... + x_nA(e_n) bezüglich dieser zweiten Orthonormalbasis. Hieraus lassen sich die beiden Linearitätseigenschaften von $A$ sofort leicht nachrechnen. Jede normtreue lineare Abbildung ist aber wegen $||\; A($x) - A(y) || = || A(x - y) || = || x - y || eine Bewegung. Damit sind alle anderen Aussagen klar.

Satz: a) Ist $B\; :\; E$_n -> E_n eine Bewegung mit $B($o) = o, so ist $B$ eine orthogonale Abbildung.

b) Ist $B\; :\; E$_n -> E_n eine Bewegung mit einem Fixpunkt $$a, d. h. gilt $B($a) = a, so existiert eine orthogonale Abbildung $A\; :\; E$_n -> E_n mit $B\; =\; t$_a o A o t_-a.

c) Ist $B\; :\; E$_n -> E_n eine beliebige Bewegung, dann gibt es eine orthogonale Abbildung $A\; :\; E$_n -> E_n und eine Translation $t$_a mit $B\; =\; t$_a o A. Also ist $B$ ein affiner Automorphismus und daher sind die zugehörige orthogonale Abbildung und die Translation sogar eindeutig bestimmt.

d) Jede Bewegung ist bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist wieder eine Bewegung. Daher bildet die Menge aller Bewegungen eine Untergruppe $(AO(Rn),o)$ der affinen Automorphismengruppe $(AGL(Rn),o)$

Beweis: a) Aus (2) und $B($o) = o folgt sofort die Normtreue von $B$. Damit folgt aber

für alle $$x, y aus E_n und daher die Orthogonalität.

b) Nach den obigen Bemerkungen ist jedenfalls $A\; =\; t$_-a o B o t_a eine Bewegung, die $A($o) = o erfüllt. Also ist nach a) diese Bewegung orthogonal.

c) Setzt man $$a = B(o), so ist jedenfalls $B\; o\; t$_-a eine Bewegung mit $B\; o\; t$_-a(a) = B(o) =a. Daher existiert nach b) eine orthogonale Abbildung $A\; :\; E$_n -> E_n mit $B\; o\; t$_-a = t_a o A o t_-a . Also gilt bereits $B\; =\; t$_a o A

d) Wegen der in c) bewiesenen Eigenschaft jeder Bewegung sind alle Bewegungen bijektiv. Da die Umkehrabbildung einer orthogonalen Abbildung selbst wieder orthogonal ist, ist auch die Umkehrabbildung jeder Bewegung wieder eine Bewegung, nämlich $B-1=\; (t$_a o A)^-1 = A^-1 o t_-a = t_-A^-1(a) o A^-1. Damit ist aber alles gezeigt.

Eine Bewegung $B\; =\; t$_a o A heißt eigentlich oder orientierungserhaltend, wenn $det(A)\; =\; 1$ gilt, sonst uneigentlich oder orientierungsumkehrend.

Es sei $B\; =\; t$_a o A eine Bewegung von $V\; =\; E$₂ bzw. $V\; =\; E$₃ wie in c). Weiterhin sei $F\; =\; \{$x aus V | A(x) = x }, also die Menge aller Fixpunkte des linearen Anteils von $B$. Schließlich sei $$a = v + w eine Zerlegung von $$a in einen Anteil $$v aus $F$ und einen Anteil $$w, der orthogonal zu $F$ ist. Dann gibt es ein $$b aus $V$ mit $(id$_V - A)(x) = w. Für jedes derartige $$b gilt $B\; =\; t$_b o t_v o A o t_-b.

Die diskreten Bewegungsgruppen des eindimensionalen euklidischen Raumes.

Die diskreten Bewegungsgruppen der euklidischen Ebene.

Die diskreten Bewegungsgruppen des dreidimensionalen euklidischen Raumes.

Weiterführende Literatur

M. Klemm, Symmetrien von Ornamenten und Kristallen, Springer Verlag, Berlin, 19802. ISBN 3-540-11644-3.