Bihalbgruppen


Eine Bihalbgruppe (S,+,*) besteht aus zwei Halbgruppen (S,+) und (S,*). Sind beide Halbgruppen kommutativ, so spricht man von einer kommutativen Bihalbgruppe, sind beide Halbgruppen idempotent, so spricht man von einer idempotenten Bihalbguppe. Eine kommutative und idempotente Bihalbgruppe bezeichnet man auch als Bihalbverband.

Sind in der Bihalbgruppe (S,+,*) beide Halbgruppen Monoide (S,+,0) bzw. (S,*,e), so nennt man die Bihalbgruppe ein Doppelmonoid oder Bimonoid, stimmen beide neutralen Elemente sogar überein, so spricht man von einem Binoid und nennt e=0 ein doppelneutrales Element.

Die natürlichen Zahlen (N,+,.) mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation bilden ein kommutatives Doppelmonoid mit den beiden verschiedenen neutralen Elementen 0 und 1. Ersetzt man die Multiplikation durch die Verknüpfung a*b = max{a,b} für alle a, b aus N, so ist (N,+,max) ein kommutatives Binoid mit dem doppelneutralen Element 0.


Existieren in einer Bihalbgruppe (S,+,*) ein neutrales Element 0 bezüglich + und ein neutrales Element 1 bezüglich *, so daß 0 absorbierend in (S,*) und 1 absorbierend in (S,+) ist, und gibt es eine einstellige Operation ~ auf S, so daß für alle a, b aus S

(1)

~(~a) = a

und die beiden De Morganschen Gesetze

(2)

~(a + b) = (~a) * (~b)  und   ~(a * b)= (~a) + (~b)

erfüllt sind, so nennt man die Operation ~ eine Quasi-Komplementierung und die Algebra (S,+,*,~,0,1) eine De Morgansche Bihalbgruppe. Diese heißt kommutativ bzw. idempotent, wenn (S,+,*) eine kommutative bzw. idempotente Bihalbgruppe ist.

In jeder De Morganschen Bihalbgruppe gelten ~0 = 1 und ~1 = 0. Da nämlich 0 absorbierend in (S,*) ist, gilt 0 = (~1) * 0, woraus durch Quasi-Komplementierung und (2) ~0 = 1 + (~0) = 1 folgt, da 1 absorbierend in (S,+) ist. Dual ergibt sich ~1 = 0.


Ist (S,+,*,~,0,1) ein De Morganscher Bihalbverband, so existieren wie auf jedem Bihalbverband die beiden partiellen Ordnungsrelationen + und * gemäß

a + b <=> a + b = a  und   a * b <=> a * b = a
für alle a, b aus S. Hieraus folgt

(3)

a + b    <=>   ~a * ~b,
wegen a + b <=> a + b = a <=> ~(a+b) = ~a <=> (~a) * (~b) = ~a <=> ~a * ~b.

Ist umgekehrt (S,+,*,0,1) ein Bihalbverband mit einem Element 0, das neutral bezüglich + und absorbierend bezüglich * ist, und einem Element 1, das neutral bezüglich * und absorbierend bezüglich + ist, und ist ~ eine einstellige Operation auf S, die (1) und (3) erfüllt, so ist (S,+,*,~,0,1) ein De Morganscher Bihalbverband.


Gilt in einer Bihalbgruppe (S,+,*) das (rechtsseitige) Distributivgesetz

(1)

(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

für alle a,b aus S, so spricht man auch von einem Halbfastring.