Bihalbverbände und Quasiverbände


Ein Bihalbverband (V,,) besteht aus zwei Halbverbänden (V,) und (V,) ohne irgendwelche Kopplungen zwischen den beiden Verknüpfungen. Es gelten also die Axiome

(1)

(a b) c = a (b c)     (a b) c = a (b c)
a b = b a a b = b a
a a = a a a = a

für alle a,b,c aus V. Gelten noch die weiteren Axiome

(2)

(a (b c)) (a b) = a (b c)  und   (a (b c)) (a b) = a (b c),

ebenfalls für alle a,b,c aus V, so nennt man (V,,) einen Quasiverband.

Falls zusätzlich noch die Distributivgesetze

(3)

a (b c) = (a b) (a c)  und   a (b c) = (a b) (a c)

gelten, so spricht man von distributiven Bihalbverbänden bzw. von distributiven Quasiverbänden. Da aus den Distributivgesetzen (3) wegen der in (1) geforderten Idempotenz, Kommutativität und Assoziativität der beiden Verknüpfungen immer die Axiome (2) folgen, sind sie in der Definition der distributiven Quasiverbände entbehrlich.


In jedem Bihalbverband (V,,) gelten die Gesetze

(4)

a (a b) (a c) = a (b c)  und   a (a b) (b c)= a (b c),

die für b = c ihrerseits die Gesetze

(5)

a b (a b) = a b   und   a b (a b)= a b

implizieren. Es ist nämlich a (b c) = (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) = a (a b) (a c) (b c), woraus wegen der Idempotenz von die linke Gleichung in (4) folgt. Die rechte Seite folgt dual, indem man überall mit vertauscht. Ersetzt man andererseits in (1) die Idempotenz von durch die linke Gleichung in (5), so kann man aus dem Axiomensystem

(1')

(a b) c = a (b c)     (a b) c = a (b c)
a b = b a a b = b a
a b (a b) = a b a a = a

die Idempotenz von folgern: a = a a = a a (a a) = a (a a) = (a a) (a a) = a a. Beide Axiomensystem (1) und (1') sind also gleichwertig. Dual hierzu kann man auch die Idempotenz von durch die rechte Gleichung in (5) ersetzen.
Sowohl in Bihalbverbänden, als auch in Quasiverbänden und in distributiven Quasiverbänden gilt das Dualitätsprinzip, d. h. eine in diesen Strukturen gültige Aussage bleibt gültig, wenn man in ihr die beiden Verknüpfungen miteinander vertauscht,.

Beispiele für Bihalbverbände:

  • Natürlich ist jeder Verband ein Quasiverband und daher ein Bihalbverband.

  • Ebenso ist jeder distributive Verband ein distributiver Quasiverband und ein distributiver Bihalbverband.

  • Jeder Halbverband (H,*) liefert einen Quasiverband (H,*,*) mit zwei identischen Verknüpfungen, einen sogenannten Mono-Bihalbverband. Dieser ist stets distributiv und daher ein Monohalbring.