Bol-Gruppoide

Ein Gruppoid $(G,*)$ erfüllt die rechte Bol-Identität¹⁾, wenn

(1)

((a * b) * c) * b = a * ((b * c) * b)

für alle $a,b,c$ aus $G$ gilt. Entsprechend erfüllt es die linke Bol-Identität, wenn

(2)

(b * (c * b)) * a = b * (c * (b * a))

für alle $a,b,c$ aus $G$ gilt. Beide Gleichungen sind natürlich in Halbgruppen erfüllt.

Existiert in $(G,*)$ ein rechtsneutrales Element $e$ , so folgt aus (1) mit $c = e$ sofort $(a * b) * b = a * (b * b)$ , d. h. $(G,*)$ ist dann rechtsalternativ.

Satz: Jede Quasigruppe $(G,*)$ , die (1) erfüllt, besitzt ein linksneutrales Element.

Beweis: Sei $a$ ein beliebiges Element von $G$ und $e$ erfülle die Gleichung $e * a = a.$ Wegen (1) gilt $(a * z) * a = ((e * a) * c) * a = e * ((a * c) * a)$ für alle $c$ aus $G.$ Zu jedem $b$ aus $G$ gibt es aber ein $c$ , so daß $(a * c) * a = b$ gilt, da $(G,*)$ Quasigruppe ist. Es folgt $b = e * b$ , d. h. $e$ ist linksneutral.

Man nennt eine Quasigruppe $(G,*)$ eine (linksseitige) Bol-Loop, wenn (1) erfüllt ist und ein (zweiseitig) neutrales Element existiert. Es handelt sich daher tatsächlich um eine Loop. Dual dazu werden rechtsseitige Bol-Loops durch (2) definiert.

Satz: a) Jede Quasigruppe $(G,*)$ , die (1) und (2) erfüllt, ist eine Moufang-Loop.
b) Jede Moufang-Loop erfüllt (1) und (2).

Beweis: a) Es ist also zu zeigen, daß $(G,*)$ eine der Moufang-Identitäten erfüllt, etwa

(M2)

(a * b) * (c * a) = a * ((b * c) * a)

für alle $a,b,c$ aus $G$ . Jedenfalls besitzt $(G,*)$ ein Einselement $e$ und ist alternativ. Zu $a,b$ aus $G$ sei $x$ aus $G$ mit $x * a = b$ . Dann gilt $x * (a * a) = (x * a) * a = b * a$ und daher $a * (b * a) = a * (x * (a * a)) = (a * (x * a)) * a = (a * b) * a$ wegen (2). Also ist $(G,*)$ auch flexibel. Aus $x * a = b$ folgt dann $x * (a * (c * a)) = x * ((a * c) * a) = ((x * a) * c) * a
= (b * c) * a$ und mit (2) weiter $a * ((b * c) * a)) = a * (x * (a * (c * a))) = (a * (x * a)) * (c * a)
= (a * b) * (c * a).$

b) Da die Moufang-Identitäten (M1) und (M2) dual zueinander sind, reicht es, aus beiden (1) herzuleiten, da (2) dann dual folgt. Mit den in jeder Moufang-Loop existierenden eindeutig bestimmten Inversen (Beweis siehe hier) $a$ ^-1,b^-1 von $a,b$ folgt dann $((a * b) * c) * b = ((a * b) * c) * (a$ ^-1 * (a * b)) = (a * b) * ((c * a^-1) * (a * b)) = (a * b) * ((b^-1 * (b * (c *a^-1))) * (a * b)) = ((a * b) * b^-1) * ((b * (c * a^-1)) * (a * b)) = a * ((b * c) * (a^-1 *(a * b))) = a * ((b * c) * b).

Ist $(G,+)$ eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0 und definiert man $a * b = b - a$ für alle $a,b$ aus $G$ , so gilt $((a * b) * c) * b = b - (c - (b - a)) =
b - c + b - a$ und $a * ((b * c) * b) = (b - (c - b)) - a = b - c + b - a$ , d. h. $(G,*)$ erfüllt die rechte Bol-Identität und wegen $0 * b = b - 0 = b$ ist 0 linksneutrales Element, das aber wegen $a * 0 = 0 - a = -a$ nicht rechtsneutral ist, sobald in $(G,+)$ ein Element $a$ mit $a + a /= 0$ existiert. Daher kann in diesem Fall nicht die linke Bol-Identität erfüllt sein.

Aus $a * b = a * c$ folgt $b - a = c - a$ und daher $b = c$ , also ist $(G,*)$ linkskürzbar. Aus $b * a = c * a$ folgt $a - b = a - c$ und daher ebenfalls $b = c$ . Also ist $(G,*)$ sogar kürzbar.

Sind $a$ und $b$ aus $G$ gegeben, so erfüllen $x = b + a$ und $y = a - b$ die Gleichungen $a * x = x - a = b$ bzw. $y * a = a - y = b$ , d. h. $(G,*)$ ist eine Quasigruppe, die keine Loop ist und nur die rechte Bol-Identität erfüllt, falls ein $a$ aus $G$ mit $a + a /= 0$ existiert. Das kleinste Beispiel hierfür liefert daher die zyklische Gruppe C₃.

1) Gerrit Bol, Gewebe und Gruppen, Math. Annalen 114 (1937), 414 - 431. [dort Gleichung (8)]