Bol-Gruppoide


Ein Gruppoid (G,*) erfüllt die rechte Bol-Identität1), wenn

(1)

((a * b) * c) * b = a * ((b * c) * b)

für alle a,b,c aus G gilt. Entsprechend erfüllt es die linke Bol-Identität, wenn

(2)

(b * (c * b)) * a = b * (c * (b * a))

für alle a,b,c aus G gilt. Beide Gleichungen sind natürlich in Halbgruppen erfüllt.

Existiert in (G,*) ein rechtsneutrales Element e, so folgt aus (1) mit c = e sofort (a * b) * b = a * (b * b), d. h. (G,*) ist dann rechtsalternativ.


Satz: Jede Quasigruppe (G,*), die (1) erfüllt, besitzt ein linksneutrales Element.

Beweis: Sei a ein beliebiges Element von G und e erfülle die Gleichung e * a = a. Wegen (1) gilt (a * z) * a = ((e * a) * c) * a = e * ((a * c) * a) für alle c aus G. Zu jedem b aus G gibt es aber ein c, so daß (a * c) * a = b gilt, da (G,*) Quasigruppe ist. Es folgt b = e * b, d. h. e ist linksneutral.

Man nennt eine Quasigruppe (G,*) eine (linksseitige) Bol-Loop, wenn (1) erfüllt ist und ein (zweiseitig) neutrales Element existiert. Es handelt sich daher tatsächlich um eine Loop. Dual dazu werden rechtsseitige Bol-Loops durch (2) definiert.

Satz: a) Jede Quasigruppe (G,*), die (1) und (2) erfüllt, ist eine Moufang-Loop.
b) Jede Moufang-Loop erfüllt (1) und (2).

Beweis: a) Es ist also zu zeigen, daß (G,*) eine der Moufang-Identitäten erfüllt, etwa

(M2)

(a * b) * (c * a) = a * ((b * c) * a)

für alle a,b,c aus G. Jedenfalls besitzt (G,*) ein Einselement e und ist alternativ. Zu a,b aus G sei x aus G mit x * a = b. Dann gilt x * (a * a) = (x * a) * a = b * a und daher a * (b * a) = a * (x * (a * a)) = (a * (x * a)) * a = (a * b) * a wegen (2). Also ist (G,*) auch flexibel. Aus x * a = b folgt dann x * (a * (c * a)) = x * ((a * c) * a) = ((x * a) * c) * a = (b * c) * a und mit (2) weiter a * ((b * c) * a)) = a * (x * (a * (c * a))) = (a * (x * a)) * (c * a) = (a * b) * (c * a).

b) Da die Moufang-Identitäten (M1) und (M2) dual zueinander sind, reicht es, aus beiden (1) herzuleiten, da (2) dann dual folgt. Mit den in jeder Moufang-Loop existierenden eindeutig bestimmten Inversen (Beweis siehe hier) a-1,b-1 von a,b folgt dann ((a * b) * c) * b = ((a * b) * c) * (a-1 * (a * b)) = (a * b) * ((c * a-1) * (a * b)) = (a * b) * ((b-1 * (b * (c *a-1))) * (a * b)) = ((a * b) * b-1) * ((b * (c * a-1)) * (a * b)) = a * ((b * c) * (a-1 *(a * b))) = a * ((b * c) * b).


Ist (G,+) eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0 und definiert man a * b = b - a für alle a,b aus G, so gilt ((a * b) * c) * b = b - (c - (b - a)) = b - c + b - a und a * ((b * c) * b) = (b - (c - b)) - a = b - c + b - a, d. h. (G,*) erfüllt die rechte Bol-Identität und wegen 0 * b = b - 0 = b ist 0 linksneutrales Element, das aber wegen a * 0 = 0 - a = -a nicht rechtsneutral ist, sobald in (G,+) ein Element a mit a + a /= 0 existiert. Daher kann in diesem Fall nicht die linke Bol-Identität erfüllt sein.

Aus a * b = a * c folgt b - a = c - a und daher b = c, also ist (G,*) linkskürzbar. Aus b * a = c * a folgt a - b = a - c und daher ebenfalls b = c. Also ist (G,*) sogar kürzbar.

Sind a und b aus G gegeben, so erfüllen x = b + a und y = a - b die Gleichungen a * x = x - a = b bzw. y * a = a - y = b, d. h. (G,*) ist eine Quasigruppe, die keine Loop ist und nur die rechte Bol-Identität erfüllt, falls ein a aus G mit a + a /= 0 existiert. Das kleinste Beispiel hierfür liefert daher die zyklische Gruppe C3.


1) Gerrit Bol, Gewebe und Gruppen, Math. Annalen 114 (1937), 414 - 431. [dort Gleichung (8)]