Boolesche Ringe (George Boole)

Ein Ring $(R,+,*)$ mit Einselement $e$ heißt Boolescher Ring, wenn $(R,*)$ idempotente Halbgruppe ist, wenn also $a * a = a$ für alle $a$ aus $R$ gilt.

Aus der Idempotenz von $(R,*)$ und der Kommutativität von $(R,+)$ folgt

a + b = (a + b)

² = a*a + a*b + b*a + b*b = a + b + a*b * b*a und damit

a*b + b*a = o

in der Gruppe

(R,+)

für alle

a, b

aus

R

.
Insbesondere gilt also

a + a = a*a + a*a = o

, d. h. jedes Element

a /= o

hat in

(R,+)

die Ordnung 2. Hieraus ergibt sich weiter

b*a = o + b*a = a*b + a*b + b*a = a*b + o = a*b

, also die Kommutativität von

(R,*)

. Daher ist

(R,*)

ein beschränkter Halbverband.

Definiert man nun auf $R$ die (offensichtlich kommutativen) zweistelligen Verknüpfungen

a

b = a*b und

a

b = a + b + a*b sowie die einstellige Verknüpfung

a' = e + a

für alle

a, b

aus

R

, dann ist

(R,

,o,e,') eine Boolesche Algebra.

Wegen

a

o = a + o + a*o = a,

a

a' = a*(e + a) = a + a*a = a + a = o und

a

a' = a + (e + a) + a*(e + a) = e + a + a*a = e sind nur noch die Distributivgesetze zu zeigen.
Es ist aber

a

c) = a*(b + c + b*c) = a*b + a*c + a*b*c
und ebenfalls

(a

c) = a*b + a*c + a*b*a*c = a*b + a*c + a*b*c.
Schließlich gilt auch

a

c) = a + b*c + a*b*c und

(a

c) = (a + b + a*b)*(a + c + a*c) = a + a*c + a*c + b*a + b*c + b*a*c + a*b + a*b*c + a*b*c = a + b*c + a*b*c.

Umgekehrt liefert jede Boolesche Algebra $(B,$ , ,o,e,') auch einen Booleschen Ring, wenn man die Multiplikation gemäß $a * b = a$ b und die (offensichtlich kommutative) Addition gemäß
$a + b = (a$ b') (a' b) jeweils für alle $a, b$ aus $B$ definiert.

Da für die Boolesche Algebra $(B,$ ,e) ein kommutatives und idempotentes Monoid ist, bleibt noch die Gruppeneigenschaft von $(B,+)$ und eines der Distributivgesetze für Ringe zu zeigen. Es gilt aber $a*(b + c) = a$ ((b c')) (b' c) = (a b c') (a b' c) sowie
$a*b + a*c = ((a$ b) (a c)') ((a b)' (a c)) = (a b (a' c')) ((a' b') a c) = (a b a') (a b c') (a' a c) (b' a c), was mit der rechten Seite der ersten Gleichung übereinstimmt. Damit sind die Distributivgesetze erfüllt.

Wegen $a + o = (a$ o') (a' o) = (a e) o = a ist $o$ neutrales Element von $(B,+)$ und wegen $a + a = (a$ a') (a' a) = o o = o ist jedes Element $a$ zu sich selbst invers.

Es bleibt der etwas mühsame Nachweis des Assoziativgesetzes.
Zunächst gilt für alle $a, b, c$ aus $B$ :
$a + (b + c) = (a$ ((b c') (b' c))') (a' ((b c') (b' c))) = (a ((b' c) (b c'))) (a' b c') (a' b' c) = (a a' b) (a b' c') (a c b) (a c c') (a' b c') (a' b' c) = (a b' c') (a c b) (a' b c') (a' b' c).
Damit gilt auch $(a + b) + c = c + (b + a) =
(c$ b' a') (c a b) (c' b a') (c' b' a), und folglich stimmen beide Ausdrücke überein.

Durch die obigen Überlegungen ordnet man jedem Booleschen Ring $(R,+,*,o,e)$ eine Boolesche Algebra $(B,$ ,,o,e,') zu und umgekehrt. Man kann sogar zeigen, daß diese Zuordnungen bijektiv sind, d. h. bei beiden algebraischen Strukturen handelt es sich um dieselben Objekte, die nur unterschiedlich betrachtet werden.