Boolesche Ringe (George Boole)


Ein Ring (R,+,*) mit Einselement e heißt Boolescher Ring, wenn (R,*) idempotente Halbgruppe ist, wenn also a * a = a für alle a aus R gilt.

Aus der Idempotenz von (R,*) und der Kommutativität von (R,+) folgt

a + b = (a + b)2 = a*a + a*b + b*a + b*b = a + b + a*b * b*a
und damit a*b + b*a = o in der Gruppe (R,+) für alle a, b aus R.
Insbesondere gilt also a + a = a*a + a*a = o, d. h. jedes Element a /= o hat in (R,+) die Ordnung 2. Hieraus ergibt sich weiter
b*a = o + b*a = a*b + a*b + b*a = a*b + o = a*b,
also die Kommutativität von (R,*). Daher ist (R,*) ein beschränkter Halbverband.

Definiert man nun auf R die (offensichtlich kommutativen) zweistelligen Verknüpfungen

a b = a*b und a b = a + b + a*b
sowie die einstellige Verknüpfung a' = e + a für alle a, b aus R, dann ist (R,,,o,e,') eine Boolesche Algebra.

Wegen

a o = a + o + a*o = a,
a a' = a*(e + a) = a + a*a = a + a = o und
a a' = a + (e + a) + a*(e + a) = e + a + a*a = e
sind nur noch die Distributivgesetze zu zeigen.
Es ist aber a (b c) = a*(b + c + b*c) = a*b + a*c + a*b*c
und ebenfalls (a b) (a c) = a*b + a*c + a*b*a*c = a*b + a*c + a*b*c.
Schließlich gilt auch a (b c) = a + b*c + a*b*c und
(a b) (a c) = (a + b + a*b)*(a + c + a*c) = a + a*c + a*c + b*a + b*c + b*a*c + a*b + a*b*c + a*b*c = a + b*c + a*b*c.


Umgekehrt liefert jede Boolesche Algebra (B,, ,o,e,') auch einen Booleschen Ring, wenn man die Multiplikation gemäß a * b = a b und die (offensichtlich kommutative) Addition gemäß
a + b = (a b') (a' b) jeweils für alle a, b aus B definiert.

Da für die Boolesche Algebra (B,,e) ein kommutatives und idempotentes Monoid ist, bleibt noch die Gruppeneigenschaft von (B,+) und eines der Distributivgesetze für Ringe zu zeigen. Es gilt aber a*(b + c) = a ((b c') (b' c)) = (a b c') (a b' c) sowie
a*b + a*c = ((a b) (a c)') ((a b)' (a c)) = (a b (a' c')) ((a' b') a c) = (a b a') (a b c') (a' a c) (b' a c), was mit der rechten Seite der ersten Gleichung übereinstimmt. Damit sind die Distributivgesetze erfüllt.

Wegen a + o = (a o') (a' o) = (a e) o = a ist o neutrales Element von (B,+) und wegen a + a = (a a') (a' a) = o o = o ist jedes Element a zu sich selbst invers.

Es bleibt der etwas mühsame Nachweis des Assoziativgesetzes.
Zunächst gilt für alle a, b, c aus B:
a + (b + c) = (a ((b c') (b' c))') (a' ((b c') (b' c))) =
(a ((b' c) (b c'))) (a' b c') (a' b' c) =
(a a' b) (a b' c') (a c b) (a c c') (a' b c') (a' b' c) =
(a b' c') (a c b) (a' b c') (a' b' c).
Damit gilt auch (a + b) + c = c + (b + a) =
(c b' a') (c a b) (c' b a') (c' b' a), und folglich stimmen beide Ausdrücke überein.


Durch die obigen Überlegungen ordnet man jedem Booleschen Ring (R,+,*,o,e) eine Boolesche Algebra (B,,,o,e,') zu und umgekehrt. Man kann sogar zeigen, daß diese Zuordnungen bijektiv sind, d. h. bei beiden algebraischen Strukturen handelt es sich um dieselben Objekte, die nur unterschiedlich betrachtet werden.