Der Boolesche Halbring (George Boole)


Auf der zweielementigen Menge B={0,1} kann man eine Addition + und eine Multiplikation * durch die folgenden Verknüpfungstafeln definieren.

+
0 1
0
1
0 1
1 1
*
0 1
0
1
0 0
0 1

Durch Überprüfung der Assoziativ- und Distributivgesetze stellt man fest, daß es sich bei (B,+,*) um einen (sowohl additiv als auch multiplikativ) kommutativen und idempotenten Halbring handelt. In diesem ist 0 absorbierendes Nullelement und 1 Einselement. Ersichtlich handelt es sich nicht um einen Ring, da (B,+) keine Gruppe ist.


Interpretiert man die Addition in dem Halbverband (B,+) als Supremumsbildung und die Multiplikation in dem Halbverband (B,*) als Infimumsbildung, so handelt es sich bei dem Booleschen Halbring um einen distributiven und beschränkten Verband. Da die durch 0' = 1 und 1' = 0 definierte Abbildung eine Komplementbildung in diesem beschränkten Verband liefert, ist (B,+,*,0,1,') sogar eine Boolesche Algebra.


In der zuletzt genannten Bedeutung betrachtet man daher das Element 1 üblicherweise als Wahrheitswert wahr (oder true) und das Element 0 entsprechend als falsch (oder false).