Der Boolesche Halbring (George Boole)

Auf der zweielementigen Menge $B=\{0,1\}$ kann man eine Addition + und eine Multiplikation * durch die folgenden Verknüpfungstafeln definieren.

Durch Überprüfung der Assoziativ- und Distributivgesetze stellt man fest, daß es sich bei $(B,+,*)$ um einen (sowohl additiv als auch multiplikativ) kommutativen und idempotenten Halbring handelt. In diesem ist 0 absorbierendes Nullelement und 1 Einselement. Ersichtlich handelt es sich nicht um einen Ring, da $(B,+)$ keine Gruppe ist.

Interpretiert man die Addition in dem Halbverband $(B,+)$ als Supremumsbildung und die Multiplikation in dem Halbverband $(B,*)$ als Infimumsbildung, so handelt es sich bei dem Booleschen Halbring um einen distributiven und beschränkten Verband. Da die durch $0\text{'}\; =\; 1$ und $1\text{'}\; =\; 0$ definierte Abbildung eine Komplementbildung in diesem beschränkten Verband liefert, ist $(B,+,*,0,1,\text{'})$ sogar eine Boolesche Algebra.

In der zuletzt genannten Bedeutung betrachtet man daher das Element 1 üblicherweise als Wahrheitswert wahr (oder true) und das Element 0 entsprechend als falsch (oder false).