Boolesche Gruppen

Eine Gruppe $(G,*)$ mit dem Einselement $e$ , in der

(1)

a * a = e

für alle $a$ aus $G$ gilt, heißt eine Boolesche Gruppe. Es sind dies also genau die Gruppen, in denen jedes Element $a \= e$ die Ordnung 2 hat, also eine Involution ist.

Jede Boolesche Gruppe ist abelsch, denn sind $a,b$ beliebige Elemente, so gilt $(a * a) * (b * b) = e * e = e = (a * b) * (a* b)$ . Hieraus folgt mit der Assoziativität und der Kürzbarkeit bereits die Kommutativität.

Einfache Beispiele für Boolesche Gruppen liefern die zyklische Gruppe der Ordnung 2 und ihre direkten Produkte, z. B. also auch die Kleinsche Vierergruppe.