Boolesche Gruppen


Eine Gruppe (G,*) mit dem Einselement e, in der

(1)

a * a = e

für alle a aus G gilt, heißt eine Boolesche Gruppe. Es sind dies also genau die Gruppen, in denen jedes Element a \= e die Ordnung 2 hat, also eine Involution ist.

Jede Boolesche Gruppe ist abelsch, denn sind a,b beliebige Elemente, so gilt (a * a) * (b * b) = e * e = e = (a * b) * (a* b). Hieraus folgt mit der Assoziativität und der Kürzbarkeit bereits die Kommutativität.


Einfache Beispiele für Boolesche Gruppen liefern die zyklische Gruppe der Ordnung 2 und ihre direkten Produkte, z. B. also auch die Kleinsche Vierergruppe.