Paramediale Gruppoide

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt bekanntlich paramedial, wenn für alle $a,\; b,\; c,\; d$ aus $G$ gilt

(1)

Für jede nichtleere Menge $A$ kann man auf dem kartesischen Produkt $G\; =\; A\; x\; A$ durch

(2)

für alle $(a,b),\; (c,d)$ aus $G$ eine zweistellige Verknüpfung definieren, so daß $(G,*)$ ein paramediales Gruppoid ist.

Aus (2) folgt nälich $((a,b)*(c,d))*((u,v)*(x,y))\; =\; (b,c)*(v,x)\; =\; (c,v)$ sowie $((x,y)*(c,d))*((u,v)*(a,b))\; =\; (y,c)*(v,a)\; =\; (c,v).$

Enthält $A$ mehr als ein Element, so ist $(G,*)$ weder assoziativ, noch kommutativ, noch idempotent, noch unipotent.

Dagegen ist $(G,*)$ immer antikommutativ und total antikommutativ. Sowohl aus $(b,c)\; =\; (a,b)*(c,d)\; =\; (c,d)*(a,b)\; =\; (d,a)$ als auch aus $(b,a)\; =\; (a,b)*(a,b)\; =\; (c,d)*(c,d)\; =\; (d,c)$ folgt nälich $(a,b)\; =\; (c,d).$