Paramediale Gruppoide


Ein Gruppoid (G,*) heißt bekanntlich paramedial, wenn für alle a, b, c, d aus G gilt

(1)

(a * b) * (c * d) = (d * b) * (c * a).

Für jede nichtleere Menge A kann man auf dem kartesischen Produkt G = A x A durch

(2)

(a,b) * (c,d) = (b,c)

für alle (a,b), (c,d) aus G eine zweistellige Verknüpfung definieren, so daß (G,*) ein paramediales Gruppoid ist.

Aus (2) folgt nälich ((a,b)*(c,d))*((u,v)*(x,y)) = (b,c)*(v,x) = (c,v) sowie ((x,y)*(c,d))*((u,v)*(a,b)) = (y,c)*(v,a) = (c,v).

Enthält A mehr als ein Element, so ist (G,*) weder assoziativ, noch kommutativ, noch idempotent, noch unipotent.

Dagegen ist (G,*) immer antikommutativ und total antikommutativ. Sowohl aus (b,c) = (a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b) = (d,a) als auch aus (b,a) = (a,b)*(a,b) = (c,d)*(c,d) = (d,c) folgt nälich (a,b) = (c,d).