Diedergruppen


Unter einer Diedergruppe (gelesen: Di-eder-gruppe) (D,*) versteht man eine Gruppe, die von zwei Elementen a und b erzeugt wird, also mit D = < a, b >, so daß a-1 = b * a * b gilt und b die Ordnung 2 hat.

Wegen a-1 = b * a * b ist also c = a * b aus D ein Element der Ordnung 2 und wegen a = c * b gilt D = < a, b > = < c, b >. Ist umgekehrt G = < c, b > eine beliebige Gruppe, die von Elementen b und c der Ordnung 2 erzeugt wird, so erfüllt a = c * b wegen b-1 = b und c-1 = c auch a-1 = b-1 * c-1 = b * c = b * c * b * b = b * a * b und G = < c, b > = < a, b >. Damit lassen sich Diedergruppen auch als solche Gruppen charakterisieren, die von zwei Elementen b und c der Ordnung 2 erzeugt werden. Gilt hierbei b = c, so besteht die Diedergruppe aus genau zwei Elementen und ist damit isomorph zur ( kommutativen) zweielementigen zyklischen Gruppe C2. Gilt im Falle b /= c die Vertauschbarkeit b * c = c * b, so folgt < c, b > = {e, b, c, b * c }, da andere Potenzprodukte von b und c wegen der jeweiligen Ordnung 2 nicht möglich sind. Also ist in diesem Falle die Diedergruppe isomorph zur (ebenfalls kommutativen) Kleinschen Vierergruppe. Alle anderen Diedergruppen sind daher nicht kommutativ.

Für jede solche Diedergruppe D = < a, b > ist < a > Normalteiler von (D,*) vom Index 2. Daher sind alle unendlichen Diedergruppen zueinander isomorph und zwei endliche Diedergruppen sind genau dann zueinander isomorph, wenn sie die gleiche Ordnung besitzen. Man bezeichnet mit Dn die Diedergruppe der Ordnung 2n.


Beispiele für Diedergruppen

  • Wie oben gesehen, ist D1 nichts anderes als die zyklische Gruppe C2 und D2 die Kleinsche Vierergruppe V4. Weitere, in der Kristallographie wichtige Diedergruppen sind D3, D4 und D6.

  • Die Gruppe aller Deckbewegungen eines regelmäßigen n-Ecks ist eine Diedergruppe Dn. (Von diesen Beispielen stammt auch die Bezeichnung "Di-eder" = "Zwei-flächner", denn man faßt das n-Eck als ein nur aus Boden- und Deckfläche bestehendes "unendlich dünnes" Prisma auf.)

  • Die von einer nichtidentischen Translation und einer Punktspiegelung erzeugte Bewegungsgruppe der euklidischen Geraden E1 ist eine unendliche Diedergruppe.