Unter einer Diedergruppe (gelesen: Di-eder-gruppe) versteht man eine Gruppe, die von zwei Elementen und erzeugt wird, also mit , so daß gilt und die Ordnung 2 hat.
Wegen ist also aus ein Element der Ordnung 2 und wegen gilt Ist umgekehrt eine beliebige Gruppe, die von Elementen und der Ordnung 2 erzeugt wird, so erfüllt wegen und auch und Damit lassen sich Diedergruppen auch als solche Gruppen charakterisieren, die von zwei Elementen und der Ordnung 2 erzeugt werden. Gilt hierbei , so besteht die Diedergruppe aus genau zwei Elementen und ist damit isomorph zur ( kommutativen) zweielementigen zyklischen Gruppe . Gilt im Falle die Vertauschbarkeit , so folgt da andere Potenzprodukte von und wegen der jeweiligen Ordnung 2 nicht möglich sind. Also ist in diesem Falle die Diedergruppe isomorph zur (ebenfalls kommutativen) Kleinschen Vierergruppe. Alle anderen Diedergruppen sind daher nicht kommutativ.
Für jede solche Diedergruppe ist Normalteiler von vom Index 2. Daher sind alle unendlichen Diedergruppen zueinander isomorph und zwei endliche Diedergruppen sind genau dann zueinander isomorph, wenn sie die gleiche Ordnung besitzen. Man bezeichnet mit die Diedergruppe der Ordnung .
Beispiele für Diedergruppen
Wie oben gesehen, ist nichts anderes als die zyklische Gruppe und die Kleinsche Vierergruppe . Weitere, in der Kristallographie wichtige Diedergruppen sind , und .
Die Gruppe aller Deckbewegungen eines regelmäßigen -Ecks ist eine Diedergruppe . (Von diesen Beispielen stammt auch die Bezeichnung "Di-eder" = "Zwei-flächner", denn man faßt das -Eck als ein nur aus Boden- und Deckfläche bestehendes "unendlich dünnes" Prisma auf.)
Die von einer nichtidentischen Translation und einer Punktspiegelung erzeugte Bewegungsgruppe der euklidischen Geraden ist eine unendliche Diedergruppe.