Direkte Produkte

Sind $(G$_i,*_i) (nicht notwendig verschiedene) Gruppoide für $i=1,...,n$, so kann man auf dem kartesischen Produkt $G\; =\; G$₁ x ... x G_n, also auf der Menge aller $n$-Tupel $x\; =\; (x$₁,...,x_n) mit $x$_i aus $G$_i eine komponentenweise Verknüpfung $*$ definieren gemäß

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für alle $a\; =\; (a$₁,...,a_n) und $b\; =\; (b$₁,...,b_n) aus $G$. Man nennt das so entstehende Gruppoid $(G,*)$ das direkte Produkt der Gruppoide $(G$_i,*_i).

Ersichtlich ist $(G,*)$ genau dann idempotent, kommutativ oder assoziativ, wenn dies jeweils für alle $(G$_i,*_i) gilt.

Weiterhin ist ein Element $e\; =\; (e$₁,...,e_n) genau dann ein neutrales Element von $(G,*)$, wenn jeweils $e$_i neutrales Element von $(G$_i,*_i) ist.

Aufgabe: Man zeige, daß ein Element $a\; =\; (a$₁,...,a_n) genau dann kürzbar [linkskürzbar, rechtskürzbar] ist, wenn jeweils alle $a$_i die entsprechende Eigenschaft haben.

Ist jedes $(G$_i,*_i) eine Gruppe und $a\; =\; (a$₁,...,a_n) ein beliebiges Element, so ist $a-1=\; (a$₁^-1, ...,a_n^-1) Inverses zu $a$. Damit ist $(G,*)$ ebenfalls eine Gruppe.

Aufgabe: Man zeige, daß für jedes $i=1,...,n$ die $i$-te Projektion $p$_i : G -> G_i gemäß $p$_i(a₁,...,a_n) = a_i ein surjektiver Homomorphismus von $(G,*)$ auf $(G$_i,*_i) ist. Weiterhin zeige man: Besitzt $(G,*)$ ein idempotentes Element $e\; =\; (e$₁,...e_n), so ist jedes $(G$_i, *_i) zu einem Untergruppoid von $(G,*)$ isomorph.