Direkte Produkte


Sind (Gi,*i) (nicht notwendig verschiedene) Gruppoide für i=1,...,n, so kann man auf dem kartesischen Produkt G = G1 x ... x Gn, also auf der Menge aller n-Tupel x = (x1,...,xn) mit xi aus Gi eine komponentenweise Verknüpfung * definieren gemäß

(1)

a*b = (a1,...,an)* (b1,...,bn) = (a1*1b1, ...,an*nbn)

für alle a = (a1,...,an) und b = (b1,...,bn) aus G. Man nennt das so entstehende Gruppoid (G,*) das direkte Produkt der Gruppoide (Gi,*i).

Ersichtlich ist (G,*) genau dann idempotent, kommutativ oder assoziativ, wenn dies jeweils für alle (Gi,*i) gilt.

Weiterhin ist ein Element e = (e1,...,en) genau dann ein neutrales Element von (G,*), wenn jeweils ei neutrales Element von (Gi,*i) ist.

Aufgabe: Man zeige, daß ein Element a = (a1,...,an) genau dann kürzbar [linkskürzbar, rechtskürzbar] ist, wenn jeweils alle ai die entsprechende Eigenschaft haben.


Ist jedes (Gi,*i) eine Gruppe und a = (a1,...,an) ein beliebiges Element, so ist a-1 = (a1-1, ...,an-1) Inverses zu a. Damit ist (G,*) ebenfalls eine Gruppe.


Aufgabe: Man zeige, daß für jedes i=1,...,n die i-te Projektion pi : G -> Gi gemäß pi(a1,...,an) = ai ein surjektiver Homomorphismus von (G,*) auf (Gi,*i) ist. Weiterhin zeige man: Besitzt (G,*) ein idempotentes Element e = (e1,...en), so ist jedes (Gi, *i) zu einem Untergruppoid von (G,*) isomorph.