Diskrete Bewegungsgruppen des E1


Da die einzigen orthogonalen Abbildungen f : R1 -> R1 durch f(x) = x und f(x) = -x gegeben sind, gilt für jede Bewegung b : E1 -> E1 bereits b(x) = x + a bzw. b(x) = -x + a für eine geeignete reelle Zahl a. Bei der ersten Art von Abbildung handelt es sich um die Translation ta, bei der zweiten um eine (Punkt-)Spiegelung an a/2. Bezeichnet man diese mit sa, so gelten die folgenden Gleichungen, die man leicht nachrechnet:

(ta)-1 = t-a,

(sa)-1 = sa,

ta o tb = ta+b,

sa o sb = ta-b,

ta o sb = sa+b,

sb o ta = sb-a,

ta o sb o ta-1 = ta o sb+a = s2a+b.

Man hat also insbesondere nochmals bestätigt, daß für jede Gruppe (G,o) von Bewegungen des E1 die Menge T(G) aller Translationen aus G einen Normalteiler von (G,o) bildet. Im Falle G /= T(G) gibt es also eine Spiegelung s aus G und die Nebenklassen von (G,o) nach T(G) sind gerade T(G) selbst und T(G) o s.


Für eine diskrete Bewegungsgruppe ist offensichtlich auch T(G) diskret. Zur Bestimmung sämtlicher diskreter Bewegungsgruppen ist daher der folgende Hilfssatz nützlich.

Hilfssatz: Ist T eine diskrete Gruppe von Translationen im E1, so ist T zyklisch, d. h. es gilt T = < te > für eine geeignete Translation te.

Beweis>: Für T = { t0 } ist die Aussage jedenfalls richtig. Enthalte also T mindestens zwei Translationen. Für x aus R enthält der Orbit T(x) = { t(x) | t aus T } daher wenigstens ein y ungleich x. Sei r eine reelle Zahl größer als | x - y |. Da T diskret ist, enthält Ur(y) außer x und y nur endlich viele Punkte aus T(x). Daher gibt es einen minimalen Abstand e > 0, den diese von x verschiedenen Punkte von x besitzen. Dann ist aber die Translation te in T enthalten, also auch die von te erzeugte zyklische Untergruppe < te >. Ist jetzt ta eine beliebige Translation aus T, dann gibt es genau eine ganze Zahl n mit n*e <= a < (n+1)*e. Nun liegt tn*e = ten in T. Wären jetzt ta und tn*e verschieden, so läge ta-n*e = ta o te-n in T mit 0 < a - n*e < e. Damit wäre ta-n*e(x) ein Punkt in T(x) mit einem Abstand zu x der kleiner ist als d. Dieser Widerspruch zeigt ta = tn*e und daher T = < te >.


Damit gibt es genau die folgenden vier Arten von diskreten Bewegungsgruppen des E1: