Diskrete Bewegungsgruppen der Ebene


Diese Gruppen dienen zur Beschreibung der Symmetrieeigenschaften von Flächenornamenten.

Sei F eine ebene (geometrische) Figur, also zunächst eine noch beliebige Punktmenge in der euklidischen Ebene E2. Die Gesamtheit aller Bewegungen, d. h. aller Kongruenzabbildungen, der Ebene, welche F in sich überführen, heißt die Deckbewegungsgruppe oder Symmetriegruppe von F.

Als eigentliche Bewegungen können dabei Drehungen und Translationen, also Parallelverschiebungen, auftreten, als uneigentliche Bewegungen Spiegelungen an Geraden oder Gleitspiegelungen, also Spiegelungen, die mit einer Translation in Richtung der Spiegelachse gekoppelt sind. Die identische Abbildung, bei der die ganze Ebene in Ruhe gelassen wird, faßt man dabei etwa als Translation um den Nullvektor als Verschiebungsvektor oder als Drehung um einen beliebigen Punkt mit dem Drehwinkel von 0o auf. Enthält eine Bewegungsgruppe keine beliebig kleinen von der identischen Abbildung verschiedenen Drehungen oder Translationen, so heißt die Gruppe diskret. Damit werden etwa die Symmetriegruppen eines Kreises oder einer Geraden ausgeschlossen.

Die diskreten Bewegungsgruppen der Ebene lassen sich nun je nach den in ihnen enthaltenen Translationen einteilen:

a) Punktgruppen, die keine von der identischen Abbildung verschiedene Translation enthalten,

b) Friesgruppen, die Translationen in nur eine (und die dazu entgegengesetzte) Richtung enthalten,

c) Ornamentgruppen, die Translationen in zwei linear unabhängige Richtungen enthalten.