Diskrete Bewegungsgruppen des Raumes


Diese Gruppen dienen zur Beschreibung der Symmetrieeigenschaften von räumlichen Objekten.

Sei F eine räumliche (geometrische) Figur, also zunächst eine noch beliebige Punktmenge im dreidimensionalen euklidischen Raum E3. Die Gesamtheit aller Bewegungen, d. h. aller Kongruenzabbildungen, des Raumes, welche F in sich überführen, heißt die Deckbewegungsgruppe oder Symmetriegruppe von F.

Als eigentliche Bewegungen können dabei Drehungen, Translationen, also Parallelverschiebungen, und Schraubungen auftreten, als uneigentliche Bewegungen Spiegelungen an Ebenen oder Gleitspiegelungen, also Spiegelungen, die mit einer Translation in Richtung parallel zur Spiegelebene gekoppelt sind. Die identische Abbildung, bei der die ganze Ebene in Ruhe gelassen wird, faßt man dabei etwa als Translation um den Nullvektor als Verschiebungsvektor oder als Drehung um einen beliebigen Punkt mit dem Drehwinkel von 0o auf. Enthält eine Bewegungsgruppe keine beliebig kleinen von der identischen Abbildung verschiedenen Drehungen oder Translationen, so heißt die Gruppe diskret. Damit werden etwa die Symmetriegruppen einer Kugel oder eines (unendlichen oder endlichen) Zylinders ausgeschlossen.

Die diskreten Bewegungsgruppen der Ebene lassen sich nun je nach den in ihnen enthaltenen Translationen einteilen:

a) Punktgruppen, die keine von der identischen Abbildung verschiedene Translation enthalten,

b) Gruppen, deren Translationsanteile einen eindimensionalen Unterraum von R3 erzeugen,

c) Gruppen, deren Translationsanteile einen zweidimensionalen Unterraum von R3 erzeugen,

d) Raumgruppen, die Translationen in drei linear unabhängige Richtungen enthalten.