Distributive Verbände

Es sei (H,,) ein Verband. Dann sind die folgenden beiden Distributivitätsaxiome äquivalent.

(1)

a (b c) = (a b) (a c)

(2)

a (b c) = (a b) (a c)

jeweils für alle a, b, c aus H.

Gilt nämlich etwa (1), so folgt (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c). Wegen der Kommutativität und der Absorptionsgesetze ist die erste Hälfte der rechten Seite aber gleich a und auf die zweite Hälfte läßt sich nochmals (1) anwenden. Man erhält also (a b) (a c) = a ((a c) (b c)). Mit der Assoziativität und den Absorptionsgesetzen folgt hieraus aber (2). Den Beweis für die umgekehrte Implikation erhält man hieraus, indem man überall die Verknüpfungssymbole und vertauscht.

Man nennt daher einen Verband (H,,), der eine (und daher beide) der Bedingungen (1) und (2) erfüllt, einen distributiven Verband.

Beispiele für distributive Verbände

  • Es sei M eine beliebige Menge und H eine nichtleere Teilmenge der Potenzmenge P(M) von M, die mit je zwei Elementen X und Y auch deren mengentheoretischen Durchschnitt X Y und deren mengentheoretische Vereinigung X Y enthält. Dann ist (H,,) ein distributiver Verband. Jeden derartigen Verband nennt man einen Mengenverband. (Man kann sogar zeigen, daß jeder distributive Verband zu einem Mengenverband isomorph ist.)
  • Jede Heyting-Algebra und damit jede Boolesche Algebra ist ein spezieller distributiver Verband.

    • Die folgenden beiden, durch ihre Cayley-Tafeln beschriebenen Verbände sind beide nicht distributiv. Man kann sogar zeigen, daß jeder nicht-distributive Verband einen Teilverband enthält, der zu einem dieser beiden Verbände isomorph ist. Daher ist jeder Verband mit höchstens vier Elementen distributiv.

    0 a b c 1
    0
    a
    b
    c
    1
    0 0 0 0 0
    0 a 0 0 a
    0 0 b 0 b
    0 0 0 c c
    0 a b c 1
    		  
    0 a b c 1
    0
    a
    b
    c
    1
    0 a b c 1
    a a 1 1 1
    b 1 b 1 1
    c 1 1 c 1
    1 1 1 1 1

    Dieser Verband ist nicht distributiv wegen a (b c) = a 1 = a und (a b) (a c) = 0 0 = 0.

    0 a b c 1
    0
    a
    b
    c
    1
    0 0 0 0 0
    0 a a 0 a
    0 a b 0 b
    0 0 0 c c
    0 a b c 1
    		  
    0 a b c 1
    0
    a
    b
    c
    1
    0 a b c 1
    a a b 1 1
    b b b 1 1
    c 1 1 c 1
    1 1 1 1 1

    Dieser Verband ist nicht distributiv wegen b (a c) = b 1 = b und (b a) (b c) = a 0 = a.