Divisionshalbring


Unter einem Divisionshalbring1) versteht man einen Halbring (S,+,*) für den (S,*) eine Gruppe ist. Im folgenden werde das Einselement von (S,*) stets mit 1 bezeichnet.

Gilt a + b = 1 für Elemente a,b eines Divisionshalbringes, so folgt a*b = b*a. Für die Inversen a-1 und b-1 gilt dann nämlich a-1*b-1 = a-1*(a+b)*b-1 = b-1 + a-1 = b-1*(a+b)*a-1 = b-1*a-1. Dies impliziert aber a*b = b*a.

Jeder Divisionshalbring ist also ein Halbkörper ohne Nullelement, also mit S* = S.

Jede beliebige Gruppe (S,*) wird zu einem Divisonshalbring (S,+,*), indem man (S,+) als Linkszerohalbgruppe oder als Rechtszerohalbgruppe definiert.

Sind (G,*) und (H,*) beliebige Gruppen, dann auch ihr direktes Produkt S = G x H. Definiert man durch (a,b) + (c,d) = (a,d) für alle (a,b), (c,d) aus S eine Addition auf S, so wird (S,+,*) ein Divisionshalbring, für den (S,+) ein rektanguläres Band ist.


1) Harry Hutchins, Division semirings with 1 + 1 = 1, Semigroup Forum 22 (1981), 181 - 188.

Weiterführende Literatur

  • Hans Joachim Weinert, Ein Struktursatz für idempotente Halbkörper, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 15 (1964), 289 - 295.
  • Han Joachim Weinert, Seminearrings, seminearfields and their semigroup-theoretical background, Semigroup Forum 24 (1982), 231 - 254.