Divisionshalbring

Unter einem Divisionshalbring¹⁾ versteht man einen Halbring $(S,+,*)$ für den $(S,*)$ eine Gruppe ist. Im folgenden werde das Einselement von $(S,*)$ stets mit 1 bezeichnet.

Gilt $a\; +\; b\; =\; 1$ für Elemente $a,b$ eines Divisionshalbringes, so folgt $a*b\; =\; b*a$. Für die Inversen $a-1$ und $b-1$ gilt dann nämlich $a-1*b-1=\; a-1*(a+b)*b-1=\; b-1+\; a-1=\; b-1*(a+b)*a-1=\; b-1*a-1$. Dies impliziert aber $a*b\; =\; b*a$.

Jeder Divisionshalbring ist also ein Halbkörper ohne Nullelement, also mit $S*=\; S$.

Jede beliebige Gruppe $(S,*)$ wird zu einem Divisonshalbring $(S,+,*)$, indem man $(S,+)$ als Linkszerohalbgruppe oder als Rechtszerohalbgruppe definiert.

Sind $(G,*)$ und $(H,*)$ beliebige Gruppen, dann auch ihr direktes Produkt $S\; =\; G\; x\; H$. Definiert man durch $(a,b)\; +\; (c,d)\; =\; (a,d)$ für alle $(a,b),\; (c,d)$ aus $S$ eine Addition auf $S$, so wird $(S,+,*)$ ein Divisionshalbring, für den $(S,+)$ ein rektanguläres Band ist.

Weiterführende Literatur