Ordnung der Elemente einer Gruppe

Für die folgenden Überlegungen werden einige zahlentheoretische Begriffsbildungen und Resultate über den Ring der ganzen Zahlen vorausgesetzt. Für ganze Zahlen $m$ und $n$ bezeichne $ggT(m,n)$ den größten gemeinsamen Teiler und $kgV(m,n)$ das kleinste gemeinsame Vielfache. Dann kann man den ggT und das kgV aus den Primfaktorzerlegungen von $m$ und $n$ stets berechnen und zeigen, daß gilt

(1)   $m\; *\; n\; =\; ggT(m,n)\; *\; kgV(m,n).$

Weiterhin existiert im Ring der ganzen Zahlen die Möglichkeit der Division mit Rest: Zu ganzen Zahlen $m$ und $n\; \backslash =\; 0$ gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q$ und $r$ mit

Auf dieser Division mit Rest wiederum beruht der Euklidische Algorithmus, mit dessen Hilfe man ebenfalls zu gegebenen ganzen Zahlen $m$ und $n$ den größten gemeinsamen Teiler $d\; =\; ggT(m,n)$ berechnen kann. Außerdem kann man bei der Durchführung des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen $x$ und $y$ bestimmen, so daß gilt

(3)   $d\; =\; x\; *\; m\; +\; y\; *\; n.$

Es sei nun $(G,*)$ eine Gruppe. Falls für ein Element $a$ aus $G$ eine natürliche Zahl $n\; >\; 0$ mit $an=\; e$ existiert, so bezeichnet man die kleinste derartige Zahl als Ordnung von $a$, schreibt $n\; =\; ord(a)$ und nennt $a$ von endlicher Ordnung. Gibt es keine derartige natürliche Zahl, so schreibt man $ord(a)\; =\; oo$ und nennt $a$ von unendlicher Ordnung.

Ist $a$ aus $(G,*)$ von endlicher Ordnung $n\; =\; ord(a)$, so gilt für alle natürlichen Zahlen $k$

(4)  

Aus $k\; =\; n\; *\; m$ (im Falle n | k) folgt nämlich aus den Potenzrechenregeln bereits $ak=\; an*m=\; (an)m=\; em=\; e.$ Gilt umgekehrt $ak=\; e$, so liefert die Divison mit Rest ganze Zahlen $q$ und $r$ mit $k\; =\; q*n\; +\; r$ und Hieraus folgt wiederum mit den Potenzrechenregeln $ar=\; ak\; -\; q*n=\; ak*\; (an)-q=\; e$, was wegen der Minimalität der Ordnung $n\; =\; ord(a)$ nur für $r\; =\; 0$ gelten kann. Dies zeigt aber $n\; |\; k$.

Weiterhin hat man für alle natürlichen Zahlen $k$

(5)   $ord(ak)\; |\; n$     und

(6)  

Ist nämlich $d=ggT(k,n)$ so gilt $n\; =\; m*d$ und $k\; =\; h*d$, woraus mit den Potenzrechenregeln $(ak)m=\; ah*d*m=\; an*h=\; e$ folgt. Aus (4) ergibt sich $ord(ak)\; |\; m$ und wegen $m\; |\; n$ schließlich (5). Im Falle $ord(ak)\; =\; n$ muß bei den gerade gemachten Überlegungen wegen $ord(ak)\; |\; m$ bereits $m\; =\; n$, also $ggT(k,n)\; =\; d\; =\; 1$ gelten. Tritt dagegen der Fall ein, so folgt aus $(ak)l=\; e$ mit (4) unmittelbar $n\; |\; k*l$, also $n*d\; =\; k*l$. Dann existiert aber ein Primfaktor $p$ von $n$, der nicht schon in $l$ aufgeht, also Primfaktor von $k$ ist. In diesem Falle ist also $ggT(k,n)$ von 1 verschieden.

Sind $a$ und $b$ Elemente einer Gruppe $(G,*)$ mit den endlichen Ordnungen $n\; =\; ord(a)$ und $m\; =\; ord(b)$ und kommutieren $a$ und $b$ gemäß $a\; *\; b\; =\; b\; *\; a$, so gelten

(7)   $ord(a\; *\; b)\; |\; kgV(n,m),$

(8)  

Ist nämlich $k\; =\; kgV(n,m)$, so folgt aus $a\; *\; b\; =\; b\; *\; a$ nach den Potenzrechenregeln $(a\; *\; b)k=\; ak*\; bk.$ Da aber sowohl $n\; =\; ord(a)$ als auch $m\; =\; ord(b)$ das kgV $k$ teilen, ergibt sich mit (4) $(a\; *\; b)k=\; e.$ Abermalige Anwendung von (4) zeigt dann (7).

Sind nun $n$ und $m$ teilerfremd, d. h. gilt $ggT(n,m)\; =\; 1,$ so existieren nach (3) ganze Zahlen $x$ und $y$ mit $1\; =\; x*n\; +\; y*m.$ Wiederum aus $a\; *\; b\; =\; b\; *\; a$ folgt mit den Potenzgesetzen zunächst $(a\; *\; b)x*n=\; ax*n*\; b1-y*m=\; b\; *\; (bm)-y=\; b.$ Potenziert man diese Gleichung mit $k\; =\; ord(a\; *\; b)$, so folgt $((a\; *\; b)x*n)k=\; ((a\; *\; b)k)x*n=\; e\; =\; bk$. Daher besagt (4), daß $k\; =\; ord(a\; *\; b)$ von $m\; =\; ord(b)$ geteilt wird. Analog erhält man, daß $ord(a\; *\; b)$ auch von $n\; =\; ord(a)$ geteilt wird. Also ist $ord(a\; *\; b)$ ein gemeinsames Vielfaches von $n$ und $m$, wird also vom $kgV(n,m)$ geteilt. Zusammen mit (7) zeigt dies $ord(a\; *\; b)\; =\; kgV(n,m).$ Wegen $ggT(n,m)\; =\; 1$ und (1) gilt aber $n\; *\; m\; =\; kgV(n,m)$.

Gilt umgekehrt $ord(a\; *\; b)\; =\; n*m,$ so folgt aus (7) $n\; *\; m\; |\; kgV(n,m),$ was wegen (1) nur für $ggT(n,m)\; =\; 1$ der Fall sein kann.

Satz In jeder endlichen abelschen Gruppe $(G,*)$ existiert ein Element $x$, welches $ord(y)\; |\; ord(x)$ für alle $y$ aus $G$ erfüllt.

Beweis: Wegen der Endlichkeit von $G$ sind alle Elemente von $(G,*)$ von endlicher Ordnung und es existiert ein Element $x$ mit maximaler Ordnung $n\; =\; ord(x)$. Angenommen, es gibt ein Element $y$ in $G$, dessen Ordnung $n$ nicht teilt. Dann gibt es eine Primzahl $p$ und einen positiven Exponenten $k$, so daß die Primzahlpotenz $pk$ zwar $m\; =\; ord(y)$, aber nicht $n\; =\; ord(x)$ teilt. Zerlegt man $n$ gemäß $n\; =\; pl*\; r$ mit $ggT(r,p)=1$, so gilt . Andererseits kann man $m\; =\; ord(y)$ zerlegen gemäß $m\; =\; pk*\; q$. Setzt man nun $a\; =\; xpl$ und $b\; =\; yq,\; so\; folgt$ ord(a)\; =\; r$und$ ord(b)\; =\; pk$und\; es\; ist$ ggT(r,pk)\; =\; ggT(r,p)\; =\; 1.$Aus\; (8)\; folgt\; dann$ ord(a*b)\; =\; r*pk>\; r*pl=\; ord(x),$ein\; Widerspruch\; zur\; Wahl\; von$ x$.$

Satz Es sei $(G,*)$ eine endliche Gruppe der Ordnung $n$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

a) $(G,*)$ ist zyklisch.

b) Für jeden Teiler $d$ von $n$ enthält $G$ höchstens $d$ Elemente $a$ mit $ord(a)\; |\; d$.

c) Für jeden Teiler $d$ von $n$ enthält $G$ höchstens $phi(d)$ Elemente $a$ mit $ord(a)\; =\; d$.

Beweis: a) => b): Es werde $(G,*)$ von $a$ erzeugt, d. h. es gelte $ord(a)\; =\; n$, und es sei $d$ ein Teiler von $n$, etwa $n\; =\; m*d$. Dann sind jedenfalls die $d$ Elemente $ak*m$ für $k=0,...,d-1$ paarweise verschieden und aus $(ak*m)d=\; ak*n=\; e$ folgt mit (4), daß jeweils $ord(ak*m$) ein Teiler von $d$ ist. Ist aber $al$ irgend ein Element aus $G$ dessen Ordnung $d$ teilt, so gilt jedenfalls $al*d=\; e$ und damit wegen (4) auch $n\; =\; m*d\; |\; l*d$. Also ist $l$ ein Vielfaches von $m$, d. h. $al$ ist eines der oben angegebenen Elemente. Damit ist b) gezeigt.

b) => c): Es gelte $d\; |\; n$, also etwa $n\; =\; m*d.$ Gibt es kein Element der Ordnung $d$, so ist c) sicherlich erfüllt. Sei also $a$ ein Element der Ordnung $d$ aus $G$. Dann sind jedenfalls die Elemente $ak$ für $k=0,...,d-1$ paarweise verschieden und ihre jeweilige Ordnung ist wegen (5) ein Teiler von $d$. Dabei tritt wegen (6) genau dann $ord(ak)\; =\; d$ ein, wenn $ggT(k,d)\; =\; 1$ gilt. Dies ist aber nach Definition der Eulerschen $phi-Funktion$ genau $phi(d)$-mal der Fall. Damit ist c) gezeigt.

c) => a): Für jeden Teiler $d$ von $n$ bezeichne $f(d)$ die Anzahl der Elemente von $G$, die genau die Ordnung $d$ haben. Es gilt dann also stets . Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung $ord(a)$ eines jeden Elementes $a$ von $G$ aber die Gruppenordnung. Daher erhält man $n$ als Summe der Funktionswerte $f(d)$ in der Form

$n\; =\; f(d$₁) + ... + f(d_k),

$n\; =\; phi(d$₁) + ... + phi(d_k).

Da beide Summen aus gleichvielen nichtnegativen Summanden denselben Wert besitzen und jeder einzelne Summand der ersten Summe höchstens so groß ist wie der entsprechende Summand der zweiten Summe, müssen die entsprechenden Summanden schon jeweils gleich sein. Also gilt stets $f(d)\; =\; phi(d)$ für alle Teiler $d$ von $n$. Insbesondere gilt $f(n)\; =\; phi(n)$, was zeigt, daß es Elemente der Ordnung $n$ in $G$ gibt. Damit ist $(G,*)$ aber zyklisch, d. h. es gilt a).