Fastringe und Fastkörper


Ein Fastring (F,+,*) besteht aus einer (nicht notwendig kommutativen) Gruppe (F,+) mit dem neutralen Element 0 und einer Halbgruppe (F,*), so daß das rechtsseitige Distributivgesetz

(1)

(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

für alle a,b aus G erfüllt ist.

Man verabredet üblicherweise, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition und läßt das Multiplikationssymbol meist weg. Damit schreibt man (1) dann kurz als (a + b)c = ac + bc.

Genauer spricht man von einem rechtsdistributiven Fastring. Dual dazu sind linksdistributive Fastringe definiert, indem man anstelle von (1) das linksseitige Distributivgesetz fordert. Hier wird der Begriff Fastring stets im oben definierten Sinn gebraucht.

Ist die Gruppe (F,+) kommutativ, so spricht man von einem abelschen Fastring, ist die Halbgruppe (F,*) kommutativ, von einem kommutativen Fastring. Dieser ist dann natürlich ein Halbring.


Für einen Fastring (F,+,*) sei F* = F \ {0}. Ist dann (F*,*) eine Gruppe, so spricht man von einem Fastkörper.


Für alle Elemente a,b eines Fastrings (F,+,*) gelten

(2)

0*a = 0

und

(3)

(-a) * b = -(a * b).

Die erste Gleichung folgt aus 0 + 0 * a = 0 * a = (0 + 0) * a = 0 * a + 0 * a und der Kürzbarkeit der Addition. Die zweite Gleichung ergibt sich dann mit 0 = 0 * b = (a + (-a)) * b = a * b + (-a) * b und der Tatsache, daß in der Gruppe (F,+) jedes einseitig inverse Element schon mit dem eindeutig bestimmten inversen Element von a * b übereinstimmt.

In beliebigen Fastringen müssen die dualen Gleichungen a*0 = 0 und a * (-b) = -(a * b) nicht immer gelten.


Da 0 wegen (2) auch multiplikativ idempotent ist, sind die beiden Mengen

(4)

F0 = { a aus F | a * 0 = 0 }

und

(5)

Fc = { a aus F | a * 0 = a }

nicht leer und man nennt F0 den zero-symmetrischen und Fc den konstanten Teil von (F,+,*). Entsprechend heißt der Fastring (F,+,*) zero-symmetrisch [konstant], wenn F = F0 [F = Fc] gilt.


Ist e ein beliebiges multiplikativ idempotentes Element eines Fastrings (F,+,*) so gibt es für jedes x aus F eindeutig bestimmte Elemente y aus { a aus F | a * e = 0 } und z aus F * e mit x = y + z. Wegen der Idempotenz von e gilt dann stets z * e = z für den zweiten Summanden. Mit y = x - x * e und z = x * e aus F * e gilt jedenfalls x = y + z und y liegt wegen y * e = (x - x * e) * e = (x + (-x) * e) * e = x * e + (-x) * e = x * e - x * e = 0 ebenfalls in der geforderten Menge. Es existiert also wenigstens eine derartige Zerlegung. Hat man nun eine weitere Zerlegung x = y' + z' der geforderten Art, so folgt x * e = y' * e + z' * e = z' * e = z', also z' = z und damit dann auch y = x - z = x - z' = y'.

Wendet man diese Aussage auf das Element e = 0 an, so ergibt sich für jedes x aus F die eindeutige Zerlegung in eine Summe x = y + z mit y aus F0 und z aus Fc.


Ein Element c eines Fastringes (F,+,*) heißt distributiv, wenn neben (1) auch noch

(6)

c * (a + b) = c * a + c * b

für alle a,b aus F gilt. Mit Fd werde die Menge aller distributiven Elemente bezeichnet. Für F = Fd nennt man den Fastring (F,+,*) distributiv. Es handelt sich dann also um einen Halbring, für den (F,+) eine Gruppe ist, also einen Ring mit nicht (notwendig) kommutativer Addition.

Verzichtet man in der Definition des Fastrings auf die Umkehrbarkeit der Addition und verlangt nur, daß (F,+) eine Halbgruppe ist, so gelangt man zu den Halbfastringen, eine gemeinsame Verallgemeinerung der Fastringe und der Halbringe. Es handelt sich hierbei also um Bihalbgruppen, in denen das Distributivgesetz (1) gilt.

Nullteilerfreie linksdistributive Halbfastringe mit einem linksabsorbierenden Nullelement und einem Einselement werden erstmals in 1) betrachtet. Dort werden sie Fasthalbringe genannt.

1) B. van Rootselaar, Algebraische Kennzeichnung freier Wortarithmetiken, Compositio Math. 15 (1963), 156 - 186.


Weiterführende Literatur

  • Willy G. van Hoorn, B. van Rootselaar, Fundamental notions in the theory of seminearrings, Compositio Math. 18 (1966), 65 - 78.
  • G. Pilz, Near-Rings, North-Holland, 1977. ISBN 0-7204-0566-1
  • Hans Zassenhaus, Über endliche Fastkörper, Abhandlungen Mathematisches Seminar Universität Hamburg 11 (1936), 187 -220.
  • Hans Joachim Weinert, Ringe mit nichtkommutativer Addition I, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 77 (1975), 10 -27.
  • Hans Joachim Weinert, Ringe mit nichtkommutativer Addition II, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 26 (1975), 295 - 310. (1975), 10 -27.
  • Hans Joachim Weinert, Seminearrings, seminearfields and their semigroup-theoretical background, Semigroup Forum 24 (1982), 231 - 254.