Friesgruppen


Hierbei handelt es sich um diskrete Bewegungsgruppen (G,o) der euklidischen Ebene E2, deren Translationsteil (G) einen eindimensionalen Unterraum von (R2,+) erzeugt. Die Richtung dieses Unterraums bezeichnet man dabei als Friesrichtung. Zur Bestimmung sämtlicher Friesgruppen beweist man zunächst den folgenden Hilfssatz.

Hilfssatz: Erzeugt der Translationsteil (G) = { a aus V | ta aus G } einen eindimensionalen Unterraum U von V, dann gibt es eine zu U parallele Gerade f mit B(f) = f für alle B aus G. Daher ist jede nichtidentische Drehung aus G eine Inversion, jede von g verschiedene Spiegelungsachse steht senkrecht auf g und g ist die einzig mögliche echte Gleitspiegelungsachse.

Mit Hilfe dieser Aussagen kann man durch vollständige Fallunterscheidung zeigen, daß es genau sieben verschiedene Arten von Friesgruppen gibt: