Friesgruppen

Hierbei handelt es sich um diskrete Bewegungsgruppen $(G,o)$ der euklidischen Ebene $E$₂, deren Translationsteil $$(G) einen eindimensionalen Unterraum von $(R2,+)$ erzeugt. Die Richtung dieses Unterraums bezeichnet man dabei als Friesrichtung. Zur Bestimmung sämtlicher Friesgruppen beweist man zunächst den folgenden Hilfssatz.

Hilfssatz: Erzeugt der Translationsteil $$(G) = { a aus V | t_a aus G } einen eindimensionalen Unterraum $U$ von $V$, dann gibt es eine zu $U$ parallele Gerade $f$ mit $B(f)\; =\; f$ für alle $B$ aus $G$. Daher ist jede nichtidentische Drehung aus $G$ eine Inversion, jede von $g$ verschiedene Spiegelungsachse steht senkrecht auf $g$ und $g$ ist die einzig mögliche echte Gleitspiegelungsachse.

Mit Hilfe dieser Aussagen kann man durch vollständige Fallunterscheidung zeigen, daß es genau sieben verschiedene Arten von Friesgruppen gibt:

• $$F₁ oder $p111$

• $$F₁¹ oder $p1a1$

• $$F₁² oder $p1m1$

• $$F₁³ oder $pm11$

• $$F₂ oder $p112$

• $$F₂¹ oder $pma2$

• $$F₂² oder $pmm2$