Gemischte Produkte


Es sei (G,o) eine Bewegungsgruppe des euklidischen Raumes En, D(G) die Untergruppe der eigentlichen Bewegungen von (G,o), G- die Menge aller uneigentlichen Bewegungen aus G und u eine uneigentliche Bewegung der Ordnung 2, die nicht in G- enthalten ist, aber g o u = u o g für alle eigentlichen Bewegungen g des En erfüllt. Setzt man D = D(G) u o G-, dann wird durch f(x) = x für alle x aus D(G) und f(x) = u o x für alle x aus G- ein Isomorphismus f : G -> D definiert. Man nennt dann (G,o) das gemischte Produkt von D und D(G), und schreibt G = D | D(G).

Da G disjunkte Vereinigung von D(G) und G- ist, ist f jedenfalls bijektiv. Für x, y aus G prüft man in jedem der vier Fälle (beide in D(G), beide in G-, x in D(G) und y in G- und umgekehrt) die Homomorphieeigenschaft von f nach, wobei in den letzten drei Fällen die Vertauschbarkeit von u mit x bzw. x o u und im zweiten Fall zusätzlich die Ordnung von u eingeht.

Für ungerade Dimension n ist etwa die Inversion u(x) = -x eine derartige uneigentliche Bewegung.