Gemischte Produkte

Es sei $(G,o)$ eine Bewegungsgruppe des euklidischen Raumes $E$_n, $D(G)$ die Untergruppe der eigentlichen Bewegungen von $(G,o)$, $G-$ die Menge aller uneigentlichen Bewegungen aus $G$ und $u$ eine uneigentliche Bewegung der Ordnung 2, die nicht in $G-$ enthalten ist, aber $g\; o\; u\; =\; u\; o\; g$ für alle eigentlichen Bewegungen $g$ des $E$_n erfüllt. Setzt man $D\; =\; D(G)$ u o G^-, dann wird durch $f(x)\; =\; x$ für alle $x$ aus $D(G)$ und $f(x)\; =\; u\; o\; x$ für alle $x$ aus $G-$ ein Isomorphismus $f\; :\; G\; ->\; D$ definiert. Man nennt dann $(G,o)$ das gemischte Produkt von $D$ und $D(G)$, und schreibt $G\; =\; D\; |\; D(G)$.

Da $G$ disjunkte Vereinigung von $D(G)$ und $G-$ ist, ist $f$ jedenfalls bijektiv. Für $x,\; y$ aus $G$ prüft man in jedem der vier Fälle (beide in $D(G)$, beide in $G-$, $x$ in $D(G)$ und $y$ in $G-$ und umgekehrt) die Homomorphieeigenschaft von $f$ nach, wobei in den letzten drei Fällen die Vertauschbarkeit von $u$ mit $x$ bzw. $x\; o\; u$ und im zweiten Fall zusätzlich die Ordnung von $u$ eingeht.

Für ungerade Dimension $n$ ist etwa die Inversion $u(x)\; =\; -x$ eine derartige uneigentliche Bewegung.