Gruppen, Quasigruppen, Loops

Unter einem Gruppe $(G,*)$ versteht man eine nichtleere Menge $G$ mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Auf $G$ existiert eine (innere) Verknüpfung $*$ , d. h. je zwei Elementen $a$ und $b$ aus $G$ ist ein drittes Element $a*b$ aus $G$ zugeordnet.

(2) Die Verknüpfung ist assoziativ, d. h. für alle $a, b$ und $c$ aus $G$ hat man

a*(b*c) = (a*b)*c

(3) Es gibt ein Einselement $e$ von $(G,*)$ , d. h. für alle $a$ aus $G$ gilt

e*a = a = a*e.

(4) Zu jedem $a$ aus $G$ existiert ein inverses Element $a$ ^-1 aus $G$ mit

a*a

^-1 = e = a^-1*a.

Eine Gruppe $(G,*)$ heißt kommutativ oder abelsch (Niels Henrik Abel), wenn $*$ kommutativ ist, d. h. wenn für alle $a$ und $b$ aus $G$ gilt:

a*b = b*a.

Bei jeder Gruppe handelt es sich also um ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt. Wie für jedes Monoid ist daher das Einselement einer Gruppe auch eindeutig bestimmt.

Das zu jedem $a$ aus $G$ existierende inverse Element ist ebenfalls eindeutig bestimmt, denn sind $a$ ₁^-1 und $a$ ₂^-1 beide invers zu $a$ , so folgt aus der Assoziativität ihre Gleichheit gemäß

a

₁^-1 = a₁^-1*e = a₁^-1*(a*a₂^-1) = (a₁^-1*a)*a₂^-1 = e*a₂^-1 = a₂^-1

Sind $a$ und $b$ beliebige Elemente einer Gruppe $(G,*)$ , so sind die beiden Gleichungen

(5)

x*a = b

und

a*y = b

ersichtlich durch die Elemente $x=b*a$ ^-1 und $y=a$ ^-1*b (eindeutig) lösbar.

Man kann sogar Gruppen als solche Halbgruppen charakterisieren, in denen jede Gleichung der Form (5) (wenigstens) eine Lösung besitzt: Ist nämlich $a$ ein beliebiges Element aus $G$ , so gibt es jedenfalls ein $e$ aus $G$ , das $e*a = a$ erfüllt. Weiterhin existiert zu jedem $b$ aus $G$ ein $y$ aus $G$ mit $a*y = b$ . Hieraus folgt $e*b =
e*a*y = a*y = b$ , d. h., daß $e$ ein Linkseinselement von $(G,*)$ ist. Weiterhin existiert wegen (5) zu jedem $a$ aus $G$ ein $a'$ aus $G$ mit $a'*a = e$ für dieses Linkseinselement. Aus dieser Eigenschaft läßt sich aber nun seinerseits wie folgt die Gruppeneigenschaft der Halbgruppe $(G,*)$ zeigen. Zunächst folgt $a'*a*a' = e*a' = a'$ und die Existenz von $a''$ aus $G$ mit $a''*a' = e$ . Dies impliziert $a*a' = e*a*a' = a''*a'*a*a' = a''*a' = e$ und weiter $a = e*a = a*a'*a = a*e$ . Dies zeigt insgesamt, daß $e$ sogar zweiseitiges Einselement von $(G,*)$ ist und $a'$ zweiseitiges Inverses von $a$ . Damit ist $(G,*)$ Gruppe.

Die allgemeine Lösbarkeit von nur einer der beiden Gleichungen (5) führt dagegen jeweils auf eine größere Klasse von Halbgruppen.

Fordert man die eindeutige Lösbarkeit sämtlicher Gleichungen der Form (5) dagegen unter Verzicht auf die Assoziativität, so gelangt man zu speziellen Gruppoiden, den Quasigruppen. Besitzt solch eine Quasigruppe ein Einselement gemäß (3), so spricht man von einer Loop.

Wie für jede algebraische Struktur bezeichnet man auch hier die Mächtigkeit

| G |

der Trägermenge

G

als Ordnung der Gruppe (Quasigruppe, Loop).

Definiert man auf einer Gruppe $(G,*)$ die zweistellige Operation der Division durch $a/b = a*b$ ^-1, so kann man zeigen, daß

a/((((a/a)/b)/c)/(((a/a)/a)/c)) = b

für alle $a, b, c$ aus $G$ erfüllt ist. Umgekehrt ist jedes Gruppoid $(G,/)$ , in dem diese Bedingung gilt, eine Gruppe. Diese Charakterisierung der Varietät aller Gruppen wurde 1952 von Higman und Neumann bewiesen.

Beispiele für Quasigruppen sind:

Quasigruppen der Ordnung 3 finden sich hier.

Ein Beispiel einer Loop mit 5 Elementen findet sich hier.

Jedes Lateinische Quadrat kann als endliche Quasigruppe betrachtet werden.

Weitere Beispiele für spezielle Quasigruppen und Loops erhält man aus Steinerschen Tripel-Systemen. Derartige Quasigruppen bzw. Loops sind stets kommutativ und im Fall der Quasigruppen auch idempotent.

Beispiele für Gruppen sind:

Endliche Gruppen der Ordnung < 8 finden sich hier, die Gruppen der Ordnung 8 hier.

Die additive Gruppe

(Z,+)

der ganzen Zahlen mit dem neutralen Element 0. Sie ist ersichtlich abelsch und von unendlicher Ordnung.

Die additiven Gruppen

(Q,+)

(R,+)

und

(C,+)

der Körper der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen sind ebenfalls abelsche Gruppen unendlicher Ordnung.

Die multiplikativen Gruppen

(Q\{0},*)

(R\{0},*)

und

(C\{0},*)

der Körper der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen sind ebenfalls abelsche Gruppen unendlicher Ordnung.

Die Menge

V

der Vektoren eines Vektorraumes bildet bezüglich der Addition von Vektoren eine abelsche Gruppe

(V,+)

. Insbesondere gehören hierzu die arithmetischen Vektorräume

(R

ⁿ,+), die natürlich ebenfalls unendliche Ordnung besitzen.

Die Menge

T

der Translationen, also der Parallelverschiebungen, eines Vektorraumes bildet bezüglich der Hintereinanderanwendung von Abbildungen eine abelsche Gruppe

(T,o)

Zur Geschichte der Gruppentheorie.

Weiterführende Literatur

P. S. Alexandroff, Einführung in die Gruppentheorie, Harri Deutsch, 1992. ISBN 3-8171-1270-X

Wilhelm Specht, Gruppentheorie, Springer, Berlin, 1956.

W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Dover Publications, 1955. (Reprint der Ausgabe von 1911.)

M. A. Armstrong, Groups and Symmetry, Springer, New York, 1988. ISBN 0-387-96675-7

Frederick M. Goodman, Algebra - Abstract and Concrete, Prentice Hall, New Jersey, 1998. ISBN 0-13-283988-1

Stanley Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, New York, 1981. ISBN 0-387-90578-2