Zur Geschichte der Gruppentheorie


Natürlich wurden Gruppen schon lange benutzt, bevor sie formal axiomatisch definiert wurden. In den Problemen, bei deren Untersuchung sie auftraten, wie etwa der Symmetrie der Platonischen Körper, waren diese Axiome von selbst erfüllt. Daher hatte man schon einige Erfahrungen über den Umgang mit diesen algebraischen Strukturen gesammelt, bevor die heute vier üblichen Axiome zu ihrer Definition aus diesen Erfahrungen extrahiert wurden. Die Bezeichnung Gruppe für derartige Strukturen wurde erstmals 1868 durch Camille Jordan verwendet (Memoire sur les groupes des mouvements, Annali de matematica pura ed applicata, Ser. II, Vol. II, No. 3 (1868) 167 - 215, 322-345), obwohl er nur das Axiom der Abgeschlossenheit gegenüber der Verknüpfung von zwei Gruppenelementen explizit forderte. Da er Symmetriegruppen untersuchte, folgten die anderen Gruppeneigenschaften automatisch. Er entdeckte z. B. nicht die Existenz der eindeutig bestimmten inversen Symmetrieabbildung innerhalb der von ihm untersuchten Gruppen. Im Jahre 1854 hatte Arthur Cayley die Notwendigkeit des Assoziativgesetzes und die Existenz eines Einselementes entdeckt. Er bezeichnete die Gruppenelemente durch abstrakte Symbole und definierte deren Verknüpfung mittels einer Tabelle, die heutzutage Cayley-Tafel genannt wird. Im Jahre 1856 gab William Rowan Hamilton (Memorandum Respecting a New System of Roots of Unity, Philosophical Mag. 12 (1856), 446) die erste Darstellung einer Gruppe, der Ikosaedergruppe, an, eine sehr platzsparende Methode eine konkrete Gruppe zu definieren, die in diesem Fall auf einer einzigen Zeile hingeschrieben werden kann, im Vergleich zu der Tabelle von 60 x 60 Einträgen der Cayley-Tafel. Die erste Definition der Gruppe mit den heute üblichen Axiomen erfolgte 1882 unabhängig voneinander durch Walter van Dyck (Gruppentheoretische Studien, Math. Ann. 20 (1882), 1-44) und Heinrich Weber.

Die erste große außermathematische Anwendung der Gruppentheorie bestand in der Bestimmung aller 230 Raumgruppen durch den russischen Kristallographen Fedorov im Jahre 1890. Dies sind die Symmetriegruppen der dreidimensionalen Punktgitter. Solche periodischen diskreten Punktgitter wurden als Modelle für den Aufbau von Kristallen aus Atomen angesehen, obwohl dies erst 1912 experimentell bestätigt werden konnte. Jedes solche Gitter kann nämlich eindeutig durch seine Symmetriegruppe charakterisiert werden.