Gruppoide, Halbgruppen, Monoide

Unter einem Gruppoid oder einem Magma $(G,*)$ versteht man eine nichtleere Menge $G$ , auf der eine (zweistellige) (innere) Verknüpfung $*$ definiert ist, d. h. je zwei Elementen $a$ und $b$ aus $G$ ist ein drittes Element $a*b$ aus $G$ zugeordnet. Dabei nennt man $*$ meistens eine Multiplikation auf $G$ und $a*b$ das Produkt des linken Faktors $a$ und des rechten Faktors $b$ .

In vielen Anwendungsfällen ist jedoch auch die additive Schreibweise üblich: Man schreibt $+$ für das Verknüpfungssymbol und nennt sie Addition auf $G$ und $a+b$ dann die Summe der Summanden $a$ und $b$ .

Eine innere Verknüpfung $*$ auf $G$ bzw. das Gruppoid $(G,*)$ heißt kommutativ, wenn für alle $a$ und $b$ aus $G$ gilt:

(1)

a * b = b * a.

Hat man

(2)

a * a = a

für ein $a$ aus $G$ , so nennt man dieses Element idempotent. Man bezeichnet mit $E(G)$ die Menge aller idempotenten Elemente von $(G,*)$ und nennt $*$ bzw. $(G,*)$ idempotent, falls $E(G) = G$ gilt. Dagegen heißt $(G,*)$ unipotent, wenn

(3)

a * a = b * b

für alle $a,b$ in $G$ erfüllt ist.

Unipotente Gruppoide, freie Monoide und Gruppen besitzen jeweils genau ein idempotentes Element. Die freien Halbgruppen liefern Beispiele für Halbgruppen ohne idempotente Elemente. Jede endliche Halbgruppe besitzt mindestens ein idempotentes Element.

Eine innere Verknüpfung $*$ auf $G$ bzw. das Gruppoid $(G,*)$ heißt antikommutativ oder nirgends kommutativ, wenn für alle $a$ und $b$ aus $G$ gilt:

(4)

a * b = b * a

impliziert

a = b,

Man nennt die Verknüpfung $*$ auch total antikommutativ, wenn

(5)

a * a = b * b

impliziert

a=b

erfüllt ist. Hieraus folgt offensichtlich, daß jedes idempotente Gruppoid total antikommutativ ist.

Die Verknüpfung $*$ bzw. das Gruppoid $(G,*)$ heißt medial oder entropisch, wenn

(6)

(a * b) * (c * d) = (a * c) * (b * d)

paramedial, wenn

(7)

(a * b) * (c * d) = (d * b) * (c * a)

und pseudomedial, wenn

(8)

(a * b) * (c * d) = ((a * c) * b) * d

jeweils für alle $a,b,c,d$ aus $G$ gilt.

Für kommutative Gruppoide folgt (7) aus (6) wegen $(a * b) * (c * d) = (c * d) * (a * b)
= (d * c) * (b * a) = (d * b) * (c * a)$ . Genauso folgt aber auch (6) aus (7) und daher sind in diesem Fall beide Bedingungen gleichwertig.

Die Verknüpfung $*$ bzw. das Gruppoid $(G,*)$ heißt linksdistributiv, wenn

(9)

a * (b * c) = (a * b) * (a * c)

und rechtsdistributiv, wenn

(10)

(a * b) * c = (a * c) * (b * c)

jeweils für alle $a,b,c$ aus $G$ gilt. Sind beide Bedingungen erfüllt, so spricht man von einem distributiven Gruppoid.

Ein idempotentes und mediales Gruppoid ist distributiv, was aus $(a * b) * (a * c) = (a * a) * (b * c) = a * (b * c)$ und $(a * c) * (b * c) = (a * b) * (c * c) = (a * b) * c$ folgt.

Ein idempotentes und links- oder rechtsdistributives Gruppoid ist flexibel, denn es gilt $a * (b * a) = (a * b) * (a * a) = (a * b) * a$ bzw. $(a * b) * a = (a * a) * (b * a) = a * (b * a)$ .

Ein neutrales Element $e$ eines Gruppoids $(G,*)$ wird durch die Forderung

(11)

e * a = a = a * e

für alle $a$ aus $G$ charakterisiert. Gilt wenigstens immer die linke Gleichung in (11), so nennt man $e$ linksneutral, und entsprechend rechtsneutral, wenn wenigstens die rechte Gleichung in (11) für alle $a$ aus $G$ erfüllt ist. In jedem dieser Fälle ist $e$ idempotent. Außerdem ist ein neutrales Element immer eindeutig bestimmt, denn ist $e$ ₁ auch nur ein linksneutrales und $e$ ₂ ein rechtsneutrales Element desselben Gruppoids $(G,*)$ , so muß ihr Produkt $e$ ₁ * e₂ sowohl mit $e$ ₂ als auch mit $e$ ₁ übereinstimmen.

Bei multiplikativer Schreibweise nennt man ein neutrales Element auch ein Einselement und schreibt dafür oft 1, bei additiver Bezeichnung spricht man dagegen von einer Null und benutzt das Symbol 0 oder $o$ .

Satz: Ein Element $e$ eines Gruppoids $(G,*)$ ist genau dann linksneutral, wenn es idempotent, linkskürzbar und linksalternativ gemäß $e * (e * a) = (e * e) * a$ für alle $a$ aus $G$ ist.

Beweis: Ist nämlich $e = e*e$ linksalternativ und linkskürzbar, so folgt aus $e * (e * a) = (e * e) * a = e * a$ bereits $e * a = a$ für alle $a$ aus $G$ . Umgekehrt ist ein linksneutrales Element in jedem Gruppoid linksalternativ und linkskürzbar und wie oben erwähnt idempotent.

Unter einer Halbgruppe $(G,*)$ versteht man ein Gruppoid $(G,*)$ , in dem das Assoziativgesetz gilt, d. h. für alle $a, b$ und $c$ aus $G$ hat man

(12)

a * (b * c) = (a * b) * c

Eine idempotente Halbgruppe heißt auch ein Band, eine kommutative und idempotente Halbgruppe ein Halbverband. Halbverbände liefern also Beispiele für Gruppoide, die total antikommutativ, aber nicht antikommutativ sind. Kommutative Halbgruppen sind stets medial und paramedial.

Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem Einselement.

Unter der Ordnung eines Gruppoids $(G,*)$ versteht man die Anzahl $|G|$ der Elemente von $G$ .

Speziell für Gruppoide $(G,*)$ kleiner Ordnungen beschreibt man die Verknüpfung * oft mit Hilfe einer Verknüpfungstafel.

Sind $U$ und $V$ beliebige Teilmenge eines Gruppoids $(G,*)$ , so heißt die Teilmenge

(13)

U*V = { u*v | u aus U und v aus V }

von $G$ das Komplexprodukt von $U$ und $V$ . Natürlich ist $U*V$ genau dann leer, wenn mindestens eine der Mengen $U$ oder $V$ leer ist. Für einelementige Teilmenge $U = { u }$ oder $V = { v }$ schreibt man einfach $u*V$ anstelle von ${ u }*V$ und $U*v$ anstelle von $U*{ v }$ . Damit wird die Potenzmenge P(G) zu einem Gruppoid $($ P(G),*), das die leere Menge als absorbierendes Element besitzt. Weiterhin ist $($ P(G),*) genau dann assoziativ bzw. kommutativ, wenn $(G,*)$ die entsprechende Eigenschaft hat.

Aufgabe: Man zeige, daß $($ P(G),*) genau dann ein neutrales Element (und zwar die einelementige Teilmenge ${ e }$ ) besitzt, wenn $(G,*)$ ein neutrales Element $e$ besitzt.

Satz: Ist $e=e*e$ idempotentes Element einer Halbgruppe $(S,*)$ , dann ist $e * S * e$ maximales Untermonoid von $(S,*)$ , das $e$ als neutrales Element besitzt.

Beweis: Wegen $e = e*e*e$ ist $e$ in $U = e * S * e$ enthalten und daher diese Menge nicht leer. Sind $e * a * e$ und $e * b * e$ zwei Elemente aus $U$ , so liegt auch deren Produkt $e * (a * e * b) * e$ wieder $U$ , also ist $(U,*)$ sogar eine Unterhalbgruppe. Wegen der Idempotenz von $e$ wirkt $e$ auf die Elemente von $U$ als zweiseitiges neutrales Element. Ist $a$ in einem Untermonoid von $(S,*)$ enthalten, das ebenfalls $e$ als neutrales Element besitzt, so gilt $a = e * a * e$ , d. h. $a$ liegt schon in $U$ .

Die Untergruppe der Einheiten von $e * S * e$ liefert daher eine maximale Untergruppe $G$ _e von $(S,*)$ , die $e$ als Einselement besitzt.

Beispiele für (nichtassoziative) Gruppoide sind:

BCK-Algebren, die bei der Untersuchung der algebraischen Eigenschaften der logischen Implikation auftreten.

Die multiplikativen Gruppoide

(V,o)

von K-Algebren, speziell also von Lie-Algebren.

Spezielle paramediale Gruppoide, die hier konstruiert werden.

Beispiele für Halbgruppen sind:

Halbgruppen mit 2 Elementen finden sich hier.

Zerohalbgruppen. Diese sind stets unipotent und kommutativ.

Linkszerohalbgruppen und Rechtszerohalbgruppen. Diese sind stets idempotent und antikommutativ. Außerdem sind sie stets medial und daher auch distributiv. Falls sie mindestens aus zwei Elementen bestehen, sind sie weder kommutativ noch paramedial.

Rektanguläre Bänder

Beispiele für Monoide sind:

Natürliche Zahlen

Transformationshalbgruppen

Freie Monoide

Weiterführende Literatur

A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. I, AMS, 1961.

A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. II, AMS, 1967.

P. A. Grillet, Semigroups - An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, New York, 1995. ISBN 0-8247-9662-4

John M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, London, 1976.

John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, Oxford, 1995. ISBN 0-19-851194-9

Mario Petrich, Introduction to semigroups, Charles E. Merrill Publ. Comp., Columbus, Ohio, 1973. ISBN 0-675-09062-8

Peter M. Higgins, Techniques of Semigroup Theory, Oxford University Press, Oxford, 1992. ISBN 0-19-853577-5

Karl Heinz Hofmann, Michael W. Mislove, Semigroup Theory and its Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57669-5

Kar Ping Shum et al. (Hrsg.), Semigroups, International Conference in Semigroups and its related Topics, Springer, Singapore, 1998. ISBN 981-3083-86-7

Otto Steinfeld, Quasi-ideals in Rings and Semigroups, Disquisitiones Mathematicae Hungaricae 10, Akademiai Kiado, Budapest, 1978. ISBN 963-05-1696-9

Jan Okninski, Semigroups of Matrices, World Scientific, Singapur, 1998. ISBN 981-02-3445-7

J. Almeida, Finite Semigroups and Universal Algebra, World Scientific, Singapur, 1998.

Annemarie Schlette, Ingo Weidig, Grundbegriffe der Algebra, Klett, Stuttgart, 1978. ISBN 3-12-983300-5

Lothar Gerritzen, Grundbegriffe der Algebra, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1994. ISBN 3-528-06519-2