Halbgruppen der Ordnung 2


Auf einer zweielementigen Menge, etwa H = {a, b} lassen sich die folgenden fünf Verknüpfungen durch ihre jeweiligen Cayley-Tafeln definieren. Jede von ihnen liefert eine Halbgruppe, wie die jeweils angegebenen Eigenschaften sofort zeigen. Außerdem zeigen diese Eigenschaften, daß alle diese Halbgruppen nicht isomorph untereinander sind.

Andererseits kann man leicht zeigen, daß jede assoziative Verknüpfung auf H eine Halbgruppe liefert, die zu genau einer der fünf angegebenen isomorph ist. Daher gibt es bis auf Isomorphie genau diese fünf Halbgruppen der Ordnung 2.

*
a b
a
b
a b
b a

Es handelt sich um die zyklische (also kommutative) Gruppe der Ordnung 2. Sie enthät damit genau ein idempotentes Element, nämlich a.

*
a b
a
b
a a
a a

Es handelt sich um die zweielementige Zerohalbgruppe. Sie ist kommutativ und enthält genau ein idempotentes Element, nämlich a, das aber kein neutrales Element ist.

*
a b
a
b
a a
b b

Es handelt sich um die zweielementige Linkszerohalbgruppe. Sie ist idempotent, aber nicht kommutativ.

*
a b
a
b
b b
a a

Es handelt sich um die zweielementige Rechtszerohalbgruppe. Sie ist idempotent, aber nicht kommutativ.

*
a b
a
b
a b
b b

Diese zweielementige Halbgruppe ist sowohl kommutativ als auch idempotent. Sie entsteht z. B. aus der einelementigen Gruppe G = {b} durch Adjunktion des neutralen Elementes a.