Halbfastkörper und Halbkörper


Besitzt ein (rechtsdistributiver) Halbfastring (S,+,*) ein Nullelement o gemäß o + a = a = a + o für alle a aus S, so werde mit S* die Menge aller von o verschiedenen Elemente bezeichnet. Besitzt der Halbring kein derartiges Nullelement, so werde S* = S gesetzt. Unter einem Halbfastkörper1) [Halbkörper] versteht man dann einen Halbfastring [Halbring] (S,+,*) mit mindestens zwei Elementen, für den (S*,*) eine Gruppe ist.

Eine Beschreibung aller neun Halb(fast)körper der Ordnung 2 findet sich hier.

Ist (S,*) eine beliebige Gruppe und (S,+) die Linkszerohalbgruppe auf S, so gilt (a + b)*c = a*c = a*b + a*c sowie a*(b + c) = a*b = a*b + a*c für alle a,b,c aus S, d. h. (S,+,*) ist ein Halbring und für | S | > 1 sogar ein Halbkörper. Adjungiert man generell zu diesem Halbring ein absorbierendes Nullelement, so erhält man einen Halbkörper mit absorbierendem Nullelement. Für | S | = 1 entsteht so der zweielementige Körper. Dual kann man die Addition natürlich auch durch eine Rechtszerohalbgruppe definieren.


1) Hans Joachim Weinert, Zur Theorie der Halbfastkörper, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 16 (1981), 201 - 218.

Weiterführende Literatur

  • Hans Joachim Weinert, Über Halbringe und Halbkörper I, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 13 (1962), 365 - 378.
  • Hans Joachim Weinert, Über Halbringe und Halbkörper II, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 14 (1963), 209 - 227.
  • Hans Joachim Weinert, Über Halbringe und Halbkörper III, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 15 (1964), 177 - 194.
  • Hans Joachim Weinert, Ein Struktursatz für idempotente Halbkörper, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 15 (1964), 289 - 295.
  • Han Joachim Weinert, Seminearrings, seminearfields and their semigroup-theoretical background, Semigroup Forum 24 (1982), 231 - 254.