Halbfastkörper und Halbkörper

Besitzt ein (rechtsdistributiver) Halbfastring $(S,+,*)$ ein Nullelement $o$ gemäß $o\; +\; a\; =\; a\; =\; a\; +\; o$ für alle $a$ aus $S$, so werde mit $S*$ die Menge aller von $o$ verschiedenen Elemente bezeichnet. Besitzt der Halbring kein derartiges Nullelement, so werde $S*=\; S$ gesetzt. Unter einem Halbfastkörper¹⁾ [Halbkörper] versteht man dann einen Halbfastring [Halbring] $(S,+,*)$ mit mindestens zwei Elementen, für den $(S*,*)$ eine Gruppe ist.

Eine Beschreibung aller neun Halb(fast)körper der Ordnung 2 findet sich hier.

Ist $(S,*)$ eine beliebige Gruppe und $(S,+)$ die Linkszerohalbgruppe auf $S$, so gilt $(a\; +\; b)*c\; =\; a*c\; =\; a*b\; +\; a*c$ sowie $a*(b\; +\; c)\; =\; a*b\; =\; a*b\; +\; a*c$ für alle $a,b,c$ aus $S$, d. h. $(S,+,*)$ ist ein Halbring und für $|\; S\; |\; >\; 1$ sogar ein Halbkörper. Adjungiert man generell zu diesem Halbring ein absorbierendes Nullelement, so erhält man einen Halbkörper mit absorbierendem Nullelement. Für $|\; S\; |\; =\; 1$ entsteht so der zweielementige Körper. Dual kann man die Addition natürlich auch durch eine Rechtszerohalbgruppe definieren.

Weiterführende Literatur