Halbfastkörper der Ordnung 2


Halbfastkörper der Ordnung 2 mit Nullelement

Für einen Halbfastkörper (S,+,*) der Ordnung 2 mit Nullelement o ist S* = S \ {o} und (S*,*) die einelementige Gruppe etwa S* = {e}. Da o neutrales Element von (S,+) ist, kommen für diese Halbgruppe nur die beiden folgenden Cayley-Tafeln in Frage.

a)
o e
o
e
o e
e o

also die zweielementige Gruppe und

b)
o e
o
e
o e
e e

also der zweielementige Halbverband. Beide möglichen Additionen sind also kommutativ.


Für die Addition a) ist jeder Halbfastring bereits ein abelscher Fastring und das Nullelement ist daher linksabsorbierend. Wegen e * e = e kommen daher nur die folgenden beiden Multiplikationstafeln in Frage.

*
o e
o
e
o o
o e

Diese Multiplikation liefert zusammen mit der Addition a) offensichtlich den zweielementigen Körper Z/(2) der ganzen Zahlen modulo 2.

*
o e
o
e
o o
e e

Mit dieser Linkszerohalbgruppe liefert die Additon a) den einzigen echten zweielementigen Fastkörper, denn das rechtsseitige Distributivgesetz ist wegen (a + b)*c = a + b = a*c + a*c trivialerweise erfüllt, aber das linksseitige wegen e = e*(e + e) \= o = e*e + e*e nicht.


Mit der Addition b) lassen sich noch die folgenden fünf Multiplikationen (Begründung siehe unten) jeweils zu einem Halbfastkörper kombinieren. Wegen der Kommutativität der entsprechenden Multiplikation sind die ersten drei dann sogar kommutative Halbkörper und finden sich daher auch unter den kommutativen Halbringen der Ordnung 2.

*
o e
o
e
o o
o e

Zusammen mit der Addition b) liefert diese Multiplikation den Booleschen Halbkörper. Es ist neben dem zweielementigen Körper der einzige Halbkörper der Ordnung 2 mit absorbierendem Nullelement (und kommutativer Addition).

*
o e
o
e
o e
e e

Diese Multiplikation stimmt mit der Addition b) überein. Da diese Operationen kommutativ und idempotent sind, gelten beide Distributivgesetze. Daher handelt es sich um einen Monohalbring und damit um einen Halbkörper.

*
o e
o
e
e e
e e

Da dies eine multiplikative Zerohalbgruppe ist und das Nullelement e additiv idempotent, gelten beide Distributivgesetze. Diese kommutative Multiplikation liefert mit der Addition b) den letzten der drei kommutativen Halbringe der Ordnung 2, die bereits Halbkörper sind.

*
o e
o
e
o o
e e

Diese (multiplikative) Linkszerohalbgruppe liefert mit der Addition b) nicht nur einen Halbfastring sondern sogar einen Halbring, da auch das linksseitige Distributivgesetz wegen der Idempotenz der Addition erfüllt ist. Daher liefert auch die entsprechende Rechtszerohalbgruppe einen Halbkörper.

*
o e
o
e
o e
o e


Der Nachweis, daß mit der Addition b) nur die angegebenen fünf Multiplikationen einen Halbfastkörper liefern, läßt sich wie folgt führen.

Da e * e = e bereits festgelegt ist, betrachte zunächst die Möglichkeit o * o = e. Dann erzwingt o * e = o * o * o = e * o bereits die Kommutativität der Multiplikation. Es handelt sich also um einen Halbring. Für o * e = o ergäbe sich aber der Widerspruch o = o*e = o*(e+o) = o*e + o*o = o + e = e. Es bleibt daher nur die Möglichkeit e * o = o * e = e, die oben erfaßt wurde.

Im folgenden darf daher o * o = o angenaommen werden. Dann hat man aber noch genau die vier Kombinationen von e * o = o und e * o = e jeweils mit o * e = o und o * e = e, die alle zu den angegebenen restlichen vier Halbkörpern führen.


Halbfastkörper der Ordnung 2 ohne Nullelement

Existiert in einem Halbfastkörper der Ordnung 2 kein Nullelement, so ist also S = S* die zweielementige Gruppe, die durch die folgende Cayley-Tafel gegeben sei. Da sie kommutativ ist, ist jeder hier mögliche Halbfastkörper bereits ein multiplikativ kommutativer Halbkörper.

*
a e
a
e
e a
a e

Zur Bestimmung der möglichen Additionstafeln werden einige Fälle unterschieden. Gilt e + e = e, so folgt durch Multiplikation mit a von rechts unter Beachtung des rechtsseitigen Distributivgesetzes a = e*a = e*a + e*a = a + a und hieraus mit derselben Multiplikation wiederum e = a*a = a*a + a*a = e + e. Beide Elemente sind also entweder beide additiv idempotent oder nicht. Analog folgt aus e + a = a sofort e = a*a = e*a + a*a = a + e und umgekehrt. Daher sind nur die folgenden vier Additionen als Kombinationen dieser jeweils zwei Fälle möglich.

+
a e
a
e
a a
e e

Dies ist die zweielementige Linkszerohalbgruppe, die dann wegen (x + y)*z = x*z = x*z + x*y für alle x,y aus S = {a,e} tatsächlich einen Halbkörper liefert.

Dual hierzu gibt es daher einen zweielementigen Halbkörper mit der Rechtzerohalbgruppe als additiver Halbgruppe.

+
a e
a
e
e a
e a

Das hierdurch gegebene Gruppoid ist aber wegen (a + e) + a = a + a = e und a + (e + a) = a + e = a nicht assoziativ und liefert daher keinen Halbfastkörper.

Dual wird auch die vierte mögliche Addition ausgeschlossen.

Es gibt also nur genau zwei Halb(fast)körper der Ordnung 2 ohne Nullelement.