Halbringe, Ringe, Körper

Unter einem Halbring $(S,+,*)$ versteht man eine nichtleere Menge $S$ , auf der zwei (innere) Verknüpfungen, eine Addition $+$ und eine Multiplikation $*$ , definiert sind, so daß die folgenden Axiome gelten.

(1) $(S,+)$ ist eine Halbgruppe.

(2) $(S,*)$ ist eine Halbgruppe.

Es gelten das linksseitige Distributivgesetz

(3)

a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

und das rechtsseitige Distributivgesetz

(4)

(b+c)*a = (b*a) + (c*a)

jeweils für alle $a, b, c$ aus $S$ .

Man verabredet üblicherweise, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition, und läßt das Multiplikationszeichen meist weg, also kurz (3) a(b+c) = ab + ac bzw. (4) (b+c)a = ba + ca.

Ist in einem Halbring $(S,+)$ kommutativ, so spricht man von einem additiv kommutativen Halbring, ist $(S,*)$ kommutativ, so spricht man von einem multiplikativ kommutativen Halbring. Entsprechend verfährt man bezüglich der Idempotenz beider Verknüpfungen. Sind beide Verknüpfungen kommutativ (idempotent), so nennt man $(S,+,*)$ einen kommutativen (idempotenten) Halbring. Mit $E$ ⁺ werde allgemein die Menge der idempotenten Elemente von $(S,+)$ , mit $E$ ^* die Menge der idempotenten Elemente von $(S,*)$ bezeichnet.

In jedem Halbring $(S,+,*)$ ist $E$ ⁺ leer oder ein Ideal von $(S,*)$ . Für jedes $e = e + e$ aus $E$ ⁺ und jedes $s$ aus $s$ gilt $s*e = s*(e + e) = s*e + s*e$ , also ist $S*E$ ⁺ in $E$ ⁺ enthalten. Mit Hilfe des rechtsseitigen Distributivgesetzes folgt auch die Inklusion von $E$ ⁺*S in $E$ ⁺.

Besitzt $(S,+,*)$ ein Linkseinselement $e$ _l gemäß $e$ _l * a = a für alle $a$ aus $S$ , so ist $E$ ⁺ sogar ein Halbringideal. Für $e,f$ aus $E$ ⁺ gilt dann nämlich $e + f + e + f
=e$ _l*(e + f) + e_l*(e + f) = (e_l + e_l)*(e + f) = (e_l + e_l)*e + (e_l + e_l)*f = e + e + f + f = e + f, d. h. $E$ ⁺ ist auch Unterhalbgruppe von $(S,+).$

Dasselbe gilt natürlich für ein Rechtseinselement.

$E$ ⁺ ist natürlich auch dann ein Halbringideal, wenn $(S,+)$ kommutativ ist.

Ist in einem Halbring $(S,+,*)$ die additive Halbgruppe $(S,+)$ ein Monoid mit dem neutralen Element $o$ , so nennt man $o$ das Nullelement des Halbringes. Erfüllt dieses Nullelement

(5)

o*a = o = a*o

für alle $a$ aus $S$ , so heißt es absorbierendes Nullelement.

Ist in einem Halbring $(S,+,*)$ die multiplikative Halbgruppe $(S,*)$ ein Monoid mit dem neutralen Element $e$ , so nennt man $e$ das Einselement des Halbringes. Es gibt Halbringe (mit mehr als einem Element), die ein Nullelement besitzen, das gleichzeitig Einselement ist. Offensichtlich ist aber der einelementige Halbring der einzige, in dem ein absorbierendes Nullelement mit einem Einselement übereinstimmen kann.

Ist $o$ Nullelement des Halbringes $(S,+,*)$ , so liegen alle Potenzen $o$ ⁿ in $E$ ⁺, denn für $n = 1$ gilt $o + o = o$ und für $n > 1$ gilt $o$ ⁿ = o^n-1 * o = o^n-1 * (o + o) = oⁿ + oⁿ.

Jedes additiv oder multiplikativ einseitig absorbierende Element $a$ eines Halbringes ist additiv idempotent. Im ersten Fall gilt $a = a + a$ , da $a$ additiv links- oder rechtsabsorbierend ist, im zweiten Fall gilt $a = a*(a+a) =
a*a + a*a = a + a$ oder $a = (a + a)*a = a*a + a*a$ .

In einem multiplikativ idempotenten Halbring $(S,+,*)$ gilt $E$ ^{+ = { a + a | a aus S }}. Für $a$ aus $S$ gilt dann nämlich $a + a = (a + a)*(a + a) = a*a + a*a
+ a*a + a*a = a + a + a + a.$ Also liegt jede Summe $a + a$ in $E$ ⁺. Umgekehrt liegt jedes additiv idempotente Element $a = a + a$ natürlich in der angegebenen Menge. Insbesondere ist in derartigen Halbringen $E$ ⁺ nicht leer.

Sind beide Halbgruppen $(S,+)$ und $(S,*)$ eines Halbringes Monoide, so sprechen manche Autoren auch von einem Dioid $(S,+,*)$ .

Bemerkung: Der Begriff des Halbrings wird in der Literatur sehr verschieden gebraucht, mache Autoren verlangen grundsätzlich die Kommutativität der Addition, die Existenz eines absorbierenden Nullelementes und eventuell sogar die Existenz eines Einselementes, das vom Nullelement verschieden ist. Beim Vergleich von Resultaten ist daher jeweils auf die genaue Definition des Autors zu achten. Hier wird der Begriff möglichst allgemein gehalten und die verschiedenen Spezialisierungen werden durch zusätzliche Attribute charakterisiert. Entsprechendes gilt für verwandte Begriffe wie "Halbkörper", "Dioid" etc.

Satz: Ist $(S,+,*)$ ein Halbring, in dem jedes Element $a$ stets in $a*S$ enthalten ist, so ist jede Untergruppe $(U,+)$ von $(S,+)$ abelsch.

Beweis: Ist $o$ das neutrale Element von $(U,+)$ , so ist $U$ in der maximalen Untergruppe $G$ _o von $(S,+)$ enthalten. Seien jetzt $a,b$ aus $U$ und $s,t$ aus $S$ mit $a = a*s$ und $b = b*t$ . Mit $o$ sind auch $o*s$ und $o*t$ additiv idempotent und es existieren die maximalen Untergruppen $G$ _o*s und $G$ _o*t von $(S,+)$ . Aus $a + o = a = o + a$ und $a + (-a) = o = (-a) + a$ in $G$ _o folgen nun $a*s + o*s = a*s = o*s + a*s$ und $a*s + (-a)*s = o*s = (-a)*s + a*s$ in $G$ _o*s. Also liegt $a=a*s$ in $G$ _o*s und analog folgt, daß $a*t$ in $G$ _o*t liegt. Entsprechend liegt $b = b*t$ in $G$ _o*t und $b*s$ in $G$ _o*s. Da $a$ in den beiden maximalen Gruppen $G$ _o und $G$ _o*s liegt, muß $o = o*s$ gelten und entsprechend $o = o*t.$ Nun folgt in $G$ _o aus $(a+b)*(t + s) = a*t + a*s + b*t + b*s = a*t + b*t + a*s + b*s$ durch Kürzen $a*s + b*t = b*t + a*s$ , also $a + b = b + a.$

Die genannte Bedingung ist insbesondere dann erfüllt, wenn $(S,*)$ idempotent ist oder ein Rechtseinselement besitzt. Natürlich gilt die Aussage des Satzes auch, wenn $a$ stets in $S*a$ enthalten ist, also speziell, falls ein Linkseinselement existiert.

Ein Ring ist ein Halbring $(R,+,*)$ , für den über (1) hinaus sogar gilt

(1') $(R,+)$ ist kommutative(!) Gruppe.

Das neutrale Element der Gruppe $(R,+)$ wird üblicherweise mit 0 bezeichnet und wie bei beliebigen Halbringen Null genannt.

Ist für einen Ring auch die Multiplikation kommutativ, so nennt man ihn einen kommutativen Ring.

Ein Ring mit Einselement $(R,+,*)$ ist ein Ring, für den $(R,*)$ Monoid mit dem neutralen Element 1 ist und in dem 0 /= 1 gilt. Hierdurch wird der einelementige (Halb-)Ring also explizit ausgeschlossen.

Ein Körper $(K,+,*)$ ist ein Ring mit Einselement, in dem die von Null verschiedenen Elemente $K\{0}$ bezüglich der Multiplikation eine Gruppe $(K\{0},*)$ bilden. Handelt es sich hierbei sogar um eine kommutative Gruppe, so spricht man von einem kommutativen Körper. Man nennt dann die entsprechenden Strukturen mit nicht notwendig kommutativer Multiplikation auch Schiefkörper.

Es gibt weitere gut untersuchte "ringähnliche" Strukturen, wie Fastringe, Fastkörper, sowie Halbkörper, Halbfastringe, Halbfastkörper, Alternativringe, Alternativkörper, Quasikörper, deren Erläuterung aber den (augenblicklichen) Rahmen dieser Einführung in Begriffe der Algebra sprengen würde.

Beispiele für Halbringe sind:

Natürliche Zahlen

Der Boolesche Halbring

Halbringe mit Zeromultiplikationen

Distributive Verbände

Mono-Halbringe

Kommutative Halbringe der Ordnung 2

Beispiele für Ringe sind:

Der Ring $(Z,+,*)$ der ganzen Zahlen ist ein kommutativer Ring mit Einselement (sogar ein Integritätsbereich), aber kein Körper.

Für jede ganze Zahl $n>0$ ist der Restklassenring $(Z/(n),+,*)$ $Z$ modulo n ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement.

Zeroringe

Beispiele für kommutative Körper sind:

Der Körper $(Q,+,*)$ der rationalen Zahlen.

Der Körper $(R,+,*)$ der reellen Zahlen.

Der Körper $(C,+,*)$ der komplexen Zahlen.

Für jede Primzahl $p$ der Restklassenkörper $(Z/(p),+,*)$ $Z$ modulo p.

Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper bilden die Quaternionen.

Weiterführende Literatur

U. Hebisch, H. J. Weinert, Halbringe - Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik, Teubner, Stuttgart, 1993. ISBN 3-519-02091-2

U. Hebisch, H. J. Weinert, Semirings - Algebraic Theory and Applications in Computer Science, World Scientific, Singapur, 1998. ISBN 981-02-3601-8

Jonathan S. Golan, The Theory of Semirings with Applications in Mathematics and Theoretical Computer Science, Longman, 1992. ISBN 0-582-07855-5

Jonathan S. Golan, Semirings and their Applications, Kluwer Academic Publishers, 1999. ISBN 0-7923-5786-8

Jonathan S. Golan, Power Algebras over Semirings, Kluwer Academic Publishers, 1999. ISBN 0-7923-5834-1

J. Gunawardena (ed.), Idempotency, Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-55344-X

Michael Gondran, Michael Monoux, Graphs, Dioids and Semirings, Springer, 2008. ISBN 978-0-387-75449-9

G. Pilz, Near-Rings, North-Holland, 1977. ISBN 0-7204-0566-1

Weitere Informationen über Halbringe und Halbkörper findet man in dem Buch Heart of Algebra im Abschnitt C.44.