Ideale in Halbringen

Unter einem Linksideal eines Halbrings $(S,+,*)$ versteht man eine nichtleere Teilmenge $L$ von $S$, die

(1)   $a\; +\; b$ liegt in $L$ für alle $a,\; b$ aus $L$ und

(2)   $s*a$ liegt in $L$ für alle $a$ aus $L$ und alle $s$ aus $S$

erfüllt. Dabei besagt (1) gerade, daß $(L,+)$ Unterhalbgruppe von $(S,+)$ ist, und (2), daß das Komplexprodukt $S*L$ in $L$ enthalten ist. Analog heißt eine nichtleere Teilmenge $R$ von $S$ ein Rechtsideal von $(S,+,*)$, wenn neben (1) noch

(3)   $a\; *\; s$ liegt in $R$ für alle $a$ aus $R$ und alle $s$ aus $S$

gilt. Ein (zweiseitiges) Ideal $I$ von $(S,+,*)$ ist dann eine Teilmenge von $S$, die sowohl Links- als auch Rechtsideal ist.

Eine einelementige Teilmenge $L\; =\; \{\; a\; \}$ ist wegen (2) genau dann Linksideal, wenn $a$ idempotent in $(S,+)$ und rechtsabsorbierendes Element von $(S,*)$ ist, denn jedes derartige Element ist additiv idempotent (Beweis). Die analoge Aussage gilt für Rechtsideale und linksabsorbierende Elemente. Daher besitzt ein Halbring genau dann ein (einziges) einelementiges Ideal, wenn er ein multiplikativ absorbierendes Element besitzt. Dieses (nur eventuell vorhandene) Ideal und $S$ selbst heißen die trivialen Ideale von $(S,*)$. Einen Halbring, welcher nur triviale Ideale besitzt, nennt man auch ideal-einfach.

Aus rein mengentheoretischen Definitionen folgt sofort, daß der Durchschnitt $D$ von beliebig vielen Linksidealen (Rechtsidealen, zweiseitigen Idealen) von $(S,+,*)$ entweder leer ist oder ein Linksideal (Rechtsideal, zweiseitiges Ideal). Daher existiert zu jeder nichtleeren Teilmenge $A$ von $S$ der Durchschnitt aller Linksideale $L$_i von $(S,+,*)$, die $A$ enthalten, und ist ein Linksideal von $(S,+,*)$, das von $A$ erzeugte Linksideal. Es ist somit das kleinste Linksideal von $(S,+,*)$, das $A$ enthält. Analog existieren das von $A$ erzeugte Rechtsideal und das von $A$ erzeugte Ideal. Wird ein Linksideal von einer einelementigen Menge $\{\; a\; \}$ erzeugt, so spricht man von einem Hauptlinksideal (oder Linkshauptideal) und entsprechend von einem Hauptrechtsideal (oder Rechtshauptideal) bzw. Hauptideal.