Kommutative Halbringe der Ordnung 2

Für einen kommutativen Halbring (S,+,*) der Ordnung 2 kommen bei Wahl der Trägermenge S = { o, e } als Halbgruppen (S,+) und (S,*) nur die kommutativen Halbgruppen dieser Ordnung in Frage, also

a)
o e
o
e
o o
o o
  
b)
o e
o
e
o o
o e
  
c)
o e
o
e
o e
e o

Da jedoch (S,+) und (S,*) zunächst als unabhängig voneinander betrachtet werden müssen, hat man auch die jeweils hierzu isomorphen Halbgruppen hinzuzunehmen. Als einziger nichtidentischer Isomorphismus kommt aber nur die Vertauschung von o mit e in Frage, so daß noch die zu a) und b) isomorphen Halbgruppen

d)
o e
o
e
e e
e e
  
e)
o e
o
e
o e
e e

hinzukommen, denn c) ist (als zweielementige Gruppe) nur zu sich selbst isomorph.

Man erhält also sämtliche kommutativen Halbringe der Ordnung 2, indem man für (S,+) und (S,*) unabhängig voneinander jede dieser fünf Halbgruppen wählt und jeweils die Distributivität überprüft.

1) Sei (S,+) gemäß a) gewählt. Da dann jede Summe gleich o ist, gelten die Distributivgesetze genau dann, wenn x*o = o für alle x aus S erfüllt ist, also genau bei den Multiplikationen gemäß a) und b).

2) Sei (S,+) gemäß b) gewählt. Da diese Addition idempotent ist, gelten die Distributivgesetze jedenfalls dann, wenn alle Produkte in (S,*) gleich sind, also für a) und c). Außerdem kann (S,*) = (S,+) gemäß b) gewählt werden, was einen Mono-Halbring ergibt. Schließlich führt die Wahl gemäß e) auf einen Halbring, der sich bei der Vertauschung von o und e (vgl. auch 5) unten) als isomorph zum Booleschen Halbring erweist. Dagegen ist die Wahl von (S,*) gemäß c) nicht möglich, da dann e*(e+o) = e*o = e und e*e + e*o = o + e = o die Distributivität verletzen.

3) Sei (S,+) gemäß c), also als Gruppe gewählt. Dann muß es sich bei dem Halbring (S,+,*) bereits um einen kommutativen Ring handeln. Da das Nullelement o eines Ringes absorbierend sein muß, was aus o + o*x = o*x = (o + o)*x = o*x + o*x und der Kürzbarkeit von (S,+) folgt, kommen für (S,*) nur a) und b) in Frage. Diese Wahlen führen auf den zweielementigen Zeroring und den zweielementigen Körper.

4) Sei (S,+) gemäß d) gewählt. Die Vertauschung von o mit e führt diesen Fall in den Fall 1) über. Daher entstehen hier ebenfalls zunächst genau zwei Halbringe, nämlich durch die Wahlen von (S,*) gemäß d) und e). Jedoch ist diese Vertauschung jeweils ein Isomorphismus, der diese beiden Halbringe auf die unter 1) gefundenen abbildet.

5) Sei (S,+) gemäß e) gewählt. Analog zum Fall 4) liefert die Vertauschung von o mit e für jeden hier zu findenden Halbring einen Isomorphismus, der ihn auf einen der unter 2) gefundenen abbildet.

Insgesamt gibt es also die folgenden 8 kommutativen Halbringe mit zwei Elementen, die jeweils paarweise nicht isomorph zueinander sind.

Den zweielementigen Körper

+
o e
o
e
o e
e o
  
*
o e
o
e
o o
o e

Den zweielementigen Zero-Ring

+
o e
o
e
o e
e o
  
*
o e
o
e
o o
o o

Den Booleschen Halbring, der auch noch idempotent ist, da es sich um einen distributiven Verband (sogar eine Boolesche Algebra) handelt. Er ist auch einer von fünf echten Halbkörpern der Ordnung 2.

+
o e
o
e
o e
e e
  
*
o e
o
e
o o
o e

Die beiden Mono-Halbringe, von denen der zweite noch zusätzlich idempotent ist. Dieser ist ebenfalls ein Halbkörper der Ordnung 2. (Dies sieht man sofort, wenn man die Bezeichnungen von o und e vertauscht.)

+
o e
o
e
o o
o o
  
*
o e
o
e
o o
o o

+
o e
o
e
o o
o e
  
*
o e
o
e
o o
o e

Die drei restlichen Halbringe, von denen der zweite schließlich der dritte und letzte echte kommutative Halbkörper der Ordnung 2 ist. (Wiederum empfiehlt es sich, die Bezeichnungen von o und e zu vertauschen.)

+
o e
o
e
o o
o o
  
*
o e
o
e
o o
o e

+
o e
o
e
o o
o e
  
*
o e
o
e
o o
o o

+
o e
o
e
o o
o e
  
*
o e
o
e
e e
e e