Halbverbände und Verbände

Eine kommutative und idempotente Halbgruppe $(H,*)$ nennt man auch einen Halbverband. Dabei schreibt man oft $$ für das Verknüpfungssymbol *.

Für jeden solchen Halbverband $(H,$) definiert

(1)

$a$ b <=> a b = b

für alle $a$ und $b$ aus $H$ eine partielle Ordnungsrelation $$ auf $H$, denn wegen der Idempotenz von ist $$ reflexiv, wegen der Kommutativität von ist $$ antisymmetrisch und wegen der Assoziativität von ist $$ transitiv. Außerdem prüft man leicht nach, daß $a$ b für je zwei Elemente $a$ und $b$ die kleinste obere Schranke $sup\{a,b\}$ liefert.

Die drei Bedingungen "Idempotenz", "Kommutativität" und "Assoziativität" sind unabhängig voneinander: Es gibt idempotente und kommutative Gruppoide ( sogar Quasigruppen), die nicht assoziativ sind. Jede abelsche Gruppe mit mindestens zwei Elementen ist kommutativ und assoziativ, aber nicht idempotent. Jede Linkszerohalbgruppe mit mindestens zwei Elementen ist assoziativ und idempotent, aber nicht kommutativ.

Ist umgekehrt $(H,$) eine partiell geordnete Menge, in der zu je zwei Elementen $a$ und $b$ stets die kleinste obere Schranke $sup\{a,b\}$ existiert, so definiert

(2)

$a$ b = sup{a,b}

für alle $a$ und $b$ aus $H$ eine Verknüpfung auf $H$, so daß $(H,$) eine kommutative und idempotente Halbgruppe ist.

Aus (1) folgt sofort, daß ein neutrales ( absorbierendes) Element von $(H,$) kleinstes (größtes) Element von $(H,$) ist. Aus (2) folgt ebenso, daß auch die Umkehrung hiervon gilt.

Existiert nun in einer partiell geordneten Menge $(H,$) zu je zwei Elementen $a$ und $b$ aus $H$ nicht nur die kleinste obere Schranke $sup\{a,b\}$, sondern auch die größte untere Schranke $inf\{a,b\}$, so kann man neben der Verknüpfung gemäß (1) auch eine Verknüpfung gemäß

(3)

$a$ b = inf{a,b}

für alle $a$ und $b$ aus $H$ definieren. Ersichtlich ist dann auch $(H,$) ein Halbverband und es gilt für alle $a$ und $b$ aus $H$

(4)

$a$ b <=> a b = a.

Weiterhin besteht zwischen den beiden Verknüpfungen auf $H$ die Beziehung

(5)

$a$ b = a <=> a b = b

für alle $a$ und $b$ aus $H$. Man nennt daher solch eine Struktur $(H,$,) bzw. die gemäß (1) oder (4) dazu gehörige partiell geordnete Menge $(H,$) einen Verband.

Man rechnet leicht nach, daß in jedem Verband $(H,$, ) die beiden Absorptionsgesetze gelten:

(6)

$a$ (a b) = a und a (a b) = a

für alle $a$ und $b$ aus $H$. Andererseits folgt aus den beiden Absorptionsgesetzen mit Hilfe der Kommutativität der beiden Verknüpfungen und auch (5).

Aufgabe: Es sei $(H,$,) eine Struktur mit den beiden Verknüpfungen und , so daß die Absorptionsgesetze gelten. Man zeige, daß dann beide Verknüpfungen idempotent sind.

Man kann also einen Verband $(H,$,) auch durch die folgenden sechs Axiome charakterisieren, die für alle $a,\; b,\; c$ aus $H$ gelten müssen.

(a b) c = a (b c)	(a b) c = a (b c)
a b = b a	a b = b a
a (a b) = a	a (a b) = a

Man kann durch entsprechende Gegenbeispiele zeigen, daß jede Struktur $(H,$,), in der mindestens eines dieser Axiome nicht erfüllt ist, kein Verband im Sinne der oben angegebenen Definition mehr ist. Dieses Axiomensystem für Verbände ist also minimal.