Heyting-Algebra (Arend Heyting, 1898 - 1980)


Unter einer Heyting-Algebra (H,,,,0,1) versteht man eine nichtleere Menge H mit drei zweistelligen Verknüpfungen, einer Supremumsbildung , einer Infimumsbildung und einer Implikation , sowie zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 aus H, so daß die folgenden Axiome für alle x, y, z aus H, erfüllt sind.

(1) (H,,) ist ein distributiver Verband,

(2) x 0 = 0   und   x 1 = 1,

(3) x x = 1,

(4) (x y) y = y   und   x (x y) = x y,

(5) x (y z) = (x y) (x z)   und   (x y) z = (x z) (y z).

Heyting-Algebren wurden von Garrett Birkhoff ursprünglich unter dem Namen Brouwersche Algebren (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881 - 1966) eingeführt. Birkhoff schrieb für die Verknüpfung a b allerdings b : a.

Aus den Absorptionsgesetzen in dem (distributiven) Verband (H,,) und (2) folgen sofort x 0 = x (x 0) = x und x 1 = x (x 1) = x, d. h. 0 ist kleinstes Element und 1 ist größtes Element des Verbandes (H,,), der damit ein beschränkter distributiver Verband ist.


Beispiele für Heyting-Algebren

  • Ist (H,,,',0,1) eine Boolesche Algebra und definiert man a b = a' b für alle a, b aus H, so wird (H,,,,0,1) eine Heyting-Algebra.