Hilbert-Algebra (David Hilbert, 1862 - 1943)

Unter einer rechtsseitigen Hilbert-Algebra $(H,*,0)$ versteht man ein Gruppoid $(H,*)$ mit einem ausgezeichneten Element $0$ aus $H$ , so daß die folgenden Axiome für alle $x, y, z$ aus $H$ erfüllt sind.

(1) $0 * x = 0$ , d. h. $0$ ist linksabsorbierend,

(2) $x * y = 0$ und $y * x = 0$ impliziert $x = y,$

(3) $(x * y) * x = 0,$

(4) $(x * y) * z = (x * z) * (y * z),$ d.h. $*$ ist rechtsdistributiv über sich selbst.

Dual hierzu werden linksseitige Hilbert-Algebren definiert. Im folgenden werden nur rechtsseitige Hilbert-Algebren betrachtet und dieser Zusatz einfach weggelassen.

Folgerung: In jeder Hilbert-Algebra $(H,*,0)$ gelten für alle $x, y, z$ aus $H$ die folgenden Aussagen

(5) $x * x = 0$ ,

(6) $x * y = 0$ impliziert $(x * z) * (y * z) = 0$ ,

(7) $x * y = 0$ und $y * z = 0$ impliziert $x * z = 0$ .

(8) $x = x * 0$ ,

(9) $(x * y) * y = x * y$ ,

(10) $(x * (x * y)) * y = 0$ ,

(11) $((x * y) * (x * z)) * (z * y) = 0$ .

Beweis: (5): Zunächst folgt $(x * x) * x = 0$ und $(x * (x * x)) * x = 0$ aus (3). Daraus ergibt sich mit (4) dann $0 = (x * (x * x)) * x = (x * x) *((x * x) * x) = (x * x) * 0$ . Wegen (1) und (2) folgt hieraus aber (5).

(6): Dies ergibt sich aus (4) und (1).

(7): Dies ergibt sich aus (4) mit (1) und (2).

(8): Zunächst gilt wegen (4) und (1) $(x * 0) * y = (x * y) * (0 * y)
= (x * y) * 0$ , woraus mit (5) speziell $0 = (x * 0) * (x * 0) = (x * (x * 0)) * 0$ und $(x * 0) * x = (x * x) * 0 = 0 * 0 = 0$ folgen. Nun gilt aber wegen (1) auch $0 * (x * (x * 0)) = 0$ , woraus dann mit (2) zunächst $x * (x * 0) = 0$ und schließlich (8) folgt.

(9): Aus (4), (5) und (8) folgt $(x * y) * y = (x * y) * (y * y) = (x * y) * 0 = x * y$ .

(10): Aus (4), (9) und (5) ergibt sich $(x * (x * y)) * y = (x * y) * ((x * y) * y) = (x * y) * (x * y) = 0$ .

(11): Unter Benutzung von (4), (9), (3) und (1) rechnet man nun nach $((x * y) * (x * z)) * (z * y) = ((x * y) * (z * y)) * ((x * z) * (z * y))
= ((x * z) * y) * ((x * z) * (z * y)) = (((x * z) * z) * y) * ((x * z) * (z * y))
= (((x * z) * y) * (z * y)) * ((x * z) * (z * y)) = (((x * z) * y) *
((x * z) * (z * y)) = 0 * (z * y) = 0$ .

Daher ist jede Hilbert-Algebra eine positiv implikative BCK-Algebra. Da offensichtlich auch die Umkehrung gilt, stimmen die Hilbert-Algebren mit den positiv implikativen BCK-Algebren überein.