Hilbert-Algebra (David Hilbert, 1862 - 1943)


Unter einer rechtsseitigen Hilbert-Algebra (H,*,0) versteht man ein Gruppoid (H,*) mit einem ausgezeichneten Element 0 aus H, so daß die folgenden Axiome für alle x, y, z aus H erfüllt sind.

(1)  0 * x = 0,   d. h. 0 ist linksabsorbierend,

(2)  x * y = 0   und   y * x = 0  impliziert  x = y,

(3)  (x * y) * x = 0,

(4)  (x * y) * z = (x * z) * (y * z),  d.h. * ist rechtsdistributiv über sich selbst.

Dual hierzu werden linksseitige Hilbert-Algebren definiert. Im folgenden werden nur rechtsseitige Hilbert-Algebren betrachtet und dieser Zusatz einfach weggelassen.


Folgerung: In jeder Hilbert-Algebra (H,*,0) gelten für alle x, y, z aus H die folgenden Aussagen

(5)  x * x = 0,

(6)  x * y = 0 impliziert (x * z) * (y * z) = 0,

(7)  x * y = 0 und y * z = 0 impliziert x * z = 0.

(8)  x = x * 0,

(9)  (x * y) * y = x * y,

(10)  (x * (x * y)) * y = 0,

(11)  ((x * y) * (x * z)) * (z * y) = 0.

Beweis: (5): Zunächst folgt (x * x) * x = 0 und (x * (x * x)) * x = 0 aus (3). Daraus ergibt sich mit (4) dann 0 = (x * (x * x)) * x = (x * x) *((x * x) * x) = (x * x) * 0. Wegen (1) und (2) folgt hieraus aber (5).

(6): Dies ergibt sich aus (4) und (1).

(7): Dies ergibt sich aus (4) mit (1) und (2).

(8): Zunächst gilt wegen (4) und (1) (x * 0) * y = (x * y) * (0 * y) = (x * y) * 0, woraus mit (5) speziell 0 = (x * 0) * (x * 0) = (x * (x * 0)) * 0 und (x * 0) * x = (x * x) * 0 = 0 * 0 = 0 folgen. Nun gilt aber wegen (1) auch 0 * (x * (x * 0)) = 0, woraus dann mit (2) zunächst x * (x * 0) = 0 und schließlich (8) folgt.

(9): Aus (4), (5) und (8) folgt (x * y) * y = (x * y) * (y * y) = (x * y) * 0 = x * y.

(10): Aus (4), (9) und (5) ergibt sich (x * (x * y)) * y = (x * y) * ((x * y) * y) = (x * y) * (x * y) = 0.

(11): Unter Benutzung von (4), (9), (3) und (1) rechnet man nun nach ((x * y) * (x * z)) * (z * y) = ((x * y) * (z * y)) * ((x * z) * (z * y)) = ((x * z) * y) * ((x * z) * (z * y)) = (((x * z) * z) * y) * ((x * z) * (z * y)) = (((x * z) * y) * (z * y)) * ((x * z) * (z * y)) = (((x * z) * y) * ((x * z) * (z * y)) = 0 * (z * y) = 0.

Daher ist jede Hilbert-Algebra eine positiv implikative BCK-Algebra. Da offensichtlich auch die Umkehrung gilt, stimmen die Hilbert-Algebren mit den positiv implikativen BCK-Algebren überein.