Homomorphismen und Isomorphismen


Sind (G1,*1) und (G2,*2) Gruppoide, so bezeichnet man eine Abbildung f : G1 -> G2 als Homomorphismus von (G1,*1) in (G1,*2), wenn für alle a und b aus G1 gilt

(1)

f(a*1b) = f(a)*2f(b).

Ist diese Abbildung bijektiv (injektiv, surjektiv), so spricht man von einem Isomorphismus (Monomorphismus, Epimorphismus). Stimmen für einen Isomorphismus die beiden Gruppoide (G1,*1) und (G2,*2) überein, so nennt man ihn einen Automorphismus. Ein triviales Beispiel hierfür ist stets die identische Abbildung auf G1 = G2.


Weniger triviale Beispiele sind für jede Gruppe (G,*) die inneren Automorphismen: Ist a ein Element von G, so ist der zu a gehörende innere Automorphismus fa : G -> G definiert durch fa(x) = a*x*a-1 für alle x aus G. Die Bedingung (1) ist nämlich aus den Eigenschaften der Gruppe (G,*) leicht herleitbar und die Bijektivität von fa ergibt sich sofort aus fa-1 = fa-1. Weiterhin ist fa genau für die Elemente a des Zentrums von (G,*) die identische Abbildung. Die Nacheinanderanwendung von zwei inneren Automorphismen ist wieder ein innerer Automorphismus wegen b(axa-1)b-1 = (ba)x(ba)-1 für alle x, a, b aus G. Daher bildet die Gesamtheit Inn(G) aller inneren Automorphismen eine Gruppe (Inn(G),o).


Aus (1) ergibt sich sofort, daß für jedes idempotente Element e = e*1e von (G1,*1), das Bild f(e) idempotent in (G2,*2) ist. Da in jeder Gruppe das Einselement das einzige idempotente Element ist, wird bei jedem Homomorphismus zwischen Gruppen, das Einselement wieder auf das Einselement abgebildet. Diese Aussage ist für Monoide nicht mehr richtig und man muß die Definition des Homomorphismus für Monoide (und erst recht für Loops) durch die Forderung

(2)

f(e1) = e2

für die betreffenden Einselemente ergänzen.


Es ist leicht nachzurechnen, daß die Nacheinanderanwendung von Homomorphismen (Isomorphismen) wieder ein Homomorphismus (Isomorphismus) ist. Ebenso einfach folgt, daß die Umkehrabbildung eines Isomorphismus wieder ein Isomorphismus ist. Man bezeichnet daher zwei Gruppoide als isomorph zueinander, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Offensichtlich haben zwei isomorphe Gruppoide dieselbe Ordnung.

Die Menge Aut(G) aller Automorphismen eines beliebigen Gruppoids (G,*) bilden daher bezüglich der Nacheinanderanwendung eine Gruppe, die Automorphismengruppe (Aut(G),o) von (G,*), die also eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe (SG,o) ist.


Beispiele für Homomorphismen

  • Die reellwertige Exponentialfunktion e : R -> R+ ist wegen ex+y = ex*ey und der Bijektivität ein Isomorphismus von der additiven Gruppe (R,+) aller reellen Zahlen auf die multiplikative Gruppe (R+,*) aller positiven reellen Zahlen.

  • Die Konjugation komplexer Zahlen, also a + bi -> a - bi, ist ein Automorphismus sowohl für die additive Gruppe (C,+) als auch für die multiplikative Halbgruppe (C,*).