Homotopie, Isotopie

Seien $(G,*)$ und $(H,o)$ zwei Quasigruppen. Drei Abbildungen $f,g,h : G -> H$ bilden eine Homotopie $(f,g,h)$ von $(G,*)$ in $(H,o)$ , wenn

(1)

f(a * b) = g(a) o h(b)

für alle $a,b$ aus $G$ gilt. Sind alle drei Abbildungen bijektiv, so nennt man $(f,g,h)$ eine Isotopie und die Quasigruppen dann isotop.

Jeder Homomorphismus $f : G -> H$ liefert also eine Homotopie $(f,f,f)$ , jeder Isomorphismus daher eine Isotopie. Es gibt jedoch auch isotope Quasigruppen, die nicht isomorph sind.

Definiert man auf der zyklischen Gruppe $C$ ₃ mit der Trägermenge $G = { a, b , c }$

a	b	c
b	c	a
c	a	b

die Abbildungen

f

und

g

als Identität und die Abbildung

h

als die Permutation auf

G

, die

a

mit

b

vertauscht, so erhält man als isotope Quasigruppe

b	a	c
c	b	a
a	c	b

deren Cayley-Tafel durch Vertauschung der ersten und der zweiten Spalte aus der Cayley-Tafel der Gruppe hervorgeht. Diese Quasigruppe ist keine Gruppe, da sie nur ein rechtsneutrales Element $b$ besitzt, das aber nicht linksneutral ist. Es handelt sich also um eine echte Rechtsloop.

Definiert man umgekehrt $g$ als die Permutation, die $a$ und $b$ vertauscht, und $h$ als identische Abbildung, so zeigt sich, daß auch die zu dieser Rechtsloop duale Linksloop isotop zur zyklischen Gruppe $C$ ₃ ist.

Definiert man wiederum $f$ als identische Abbildung und diesmal $g = h$ als die Permutation, die $a$ und $c$ vertauscht, so erhält man diejenige kommutative Quasigruppe der Ordnung 3, die kein idempotentes Element besitzt.

Definiert man schließlich die drei Permutationen $f,g,h$ durch die folgende Tabelle

a	c	b
b	c	a
c	a	b

so erhält man als isotopes Bild der zyklischen Gruppe $C$ ₃ auch die kommutative und idempotente Quasigruppe der Ordnung 3.

Daher sind alle fünf nichtisomorphen Quasigruppen der Ordnung 3 zur zyklischen Gruppe und damit auch untereinander isotop.