Homotopie, Isotopie


Seien (G,*) und (H,o) zwei Quasigruppen. Drei Abbildungen f,g,h : G -> H bilden eine Homotopie (f,g,h) von (G,*) in (H,o), wenn

(1)

f(a * b) = g(a) o h(b)

für alle a,b aus G gilt. Sind alle drei Abbildungen bijektiv, so nennt man (f,g,h) eine Isotopie und die Quasigruppen dann isotop.

Jeder Homomorphismus f : G -> H liefert also eine Homotopie (f,f,f), jeder Isomorphismus daher eine Isotopie. Es gibt jedoch auch isotope Quasigruppen, die nicht isomorph sind.

Definiert man auf der zyklischen Gruppe C3 mit der Trägermenge G = { a, b , c }

*
a b c
a
b
c
a b c
b c a
c a b

die Abbildungen f und g als Identität und die Abbildung h als die Permutation auf G, die a mit b vertauscht, so erhält man als isotope Quasigruppe

o
a b c
a
b
c
b a c
c b a
a c b

deren Cayley-Tafel durch Vertauschung der ersten und der zweiten Spalte aus der Cayley-Tafel der Gruppe hervorgeht. Diese Quasigruppe ist keine Gruppe, da sie nur ein rechtsneutrales Element b besitzt, das aber nicht linksneutral ist. Es handelt sich also um eine echte Rechtsloop.


Definiert man umgekehrt g als die Permutation, die a und b vertauscht, und h als identische Abbildung, so zeigt sich, daß auch die zu dieser Rechtsloop duale Linksloop isotop zur zyklischen Gruppe C3 ist.


Definiert man wiederum f als identische Abbildung und diesmal g = h als die Permutation, die a und c vertauscht, so erhält man diejenige kommutative Quasigruppe der Ordnung 3, die kein idempotentes Element besitzt.


Definiert man schließlich die drei Permutationen f,g,h durch die folgende Tabelle

a b c
f
g
h
a c b
b c a
c a b

so erhält man als isotopes Bild der zyklischen Gruppe C3 auch die kommutative und idempotente Quasigruppe der Ordnung 3.


Daher sind alle fünf nichtisomorphen Quasigruppen der Ordnung 3 zur zyklischen Gruppe und damit auch untereinander isotop.