Ideale von Gruppoiden und Halbgruppen

Unter einem Linksideal eines Gruppoids $(G,*)$ versteht man eine nichtleere Teilmenge $L$ von $G$, die

(l)   $g*a$ liegt in $L$ für alle $a$ aus $L$ und alle $g$ aus $G$

erfüllt. Analog heißt eine nichtleere Teilmenge $R$ von $G$ ein Rechtsideal von $(G,*)$, wenn

(r)   $a*g$ liegt in $R$ für alle $a$ aus $R$ und alle $g$ aus $G$

gilt. Ein (zweiseitiges) Ideal $I$ von $(G,*)$ ist dann eine Teilmenge von $G$, die sowohl Links- als auch Rechtsideal ist.

Insbesondere ist also jedes Linksideal, jedes Rechtsideal und jedes Ideal ein Untergruppoid von $(G,*)$ und $G$ selbst ist stets ein Ideal von $(G,*)$. Eine einelementige Teilmenge $L\; =\; \{\; a\; \}$ ist wegen (l) genau dann Linksideal, wenn $a$ ein rechtsabsorbierendes Element von $(G,*)$ ist. Die analoge Aussage gilt für Rechtsideale und linksabsorbierende Elemente. Daher besitzt ein Gruppoid genau dann ein (einziges) einelementiges Ideal, wenn es ein absorbierendes Element besitzt. Dieses (nur eventuell vorhandene) Ideal und $G$ selbst heißen die trivialen Ideale von $(G,*)$. Ein Gruppoid, welches nur triviale Ideale besitzt, nennt man auch ideal-einfach.

Aus rein mengentheoretischen Definitionen folgt sofort, daß der Durchschnitt $D$ von beliebig vielen Linksidealen (Rechtsidealen, zweiseitigen Idealen) von $(G,*)$ entweder leer ist oder ein Linksideal (Rechtsideal, zweiseitiges Ideal) von $(G,*)$. Daher existiert zu jeder nichtleeren Teilmenge $A$ von $G$ der Durchschnitt aller Linksideale $L$_i von $(G,*)$, die $A$ enthalten, und ist ein Linksideal von $(G,*)$, das von $A$ erzeugte Linksideal. Es ist somit das kleinste Linksideal von $(G,*)$, das $A$ enthält. Analog existieren das von $A$ erzeugte Rechtsideal und das von $A$ erzeugte Ideal. Wird ein Linksideal von einer einelementigen Menge $\{\; a\; \}$ erzeugt, so spricht man von einem Hauptlinksideal (oder Linkshauptideal) und entsprechend von einem Hauptrechtsideal (oder Rechtshauptideal) bzw. Hauptideal.

Ist das Gruppoid sogar eine Halbgruppe $(S,*)$, so ist für jedes $a$ aus $S$ die Menge

zwar ein Linksideal von $(S,*)$, das aber nicht unbedingt $a$ enthält. Dagegen ist stets $S1*a\; =\; \{\; a\; \}$ S*a das von $a$ erzeugte Hauptideal, das in vielen Fällen, z. B. für Monoide $(S,*)$, mit $S*a$ übereinstimmt. Entsprechendes gilt für Rechtsideale $a*S$ und $a*S1=\; \{\; a\; \}$ a*S. Daher ist das von $a$ erzeugte (zweiseitige) Ideal gegeben durch

$S1*a*S1=\; \{\; a\; \}$ a*S S*a S*a*S.

Aufgabe: Man beschreibe analog das von einer beliebigen nichtleeren Teilmenge $A$ einer Halbgruppe $(S,*)$ erzeugte Linksideal (Rechtsideal, Ideal).

Unter einem Quasi-Ideal¹⁾ eines Gruppoids $(G,*)$ versteht man eine nichtleere Teilmenge $Q$ von $G$, für die

(q)   $G*Q$ Q*G = { g*a | g aus G, a aus Q } { a*g | g aus G, a aus Q }

in $Q$ enthalten ist. Insbesondere ist dann $Q*Q$ wieder in $Q$ enthalten, jedes Quasi-Ideal also ein Untergruppoid. Da für jedes Linksideal $Q$ die linke dieser Mengen in $Q$ enthalten ist, gilt dies auch für den Durchschnitt. Also ist jedes Linksideal eines Gruppoids auch ein Quasi-Ideal. Entsprechend gilt dies für Rechtsideale und zweiseitige Ideale. Der Begriff des Quasi-Ideals verallgemeinert daher den Begriff des (ein- und zweiseitigen) Ideals.

Wie bei Idealen folgt sofort, daß der Durchschnitt von beliebig vielen Quasi-Idealen eines Gruppoids entweder leer ist oder selbst ein Quasi-Ideal des Gruppoids.

Ist $L$ ein Linksideal und $R$ ein Rechtsideal eines Gruppoids $(G,*)$, so liegt $RL\; =\; \{\; a*b\; |\; a\; aus\; R\; und\; b\; aus\; L\; \}$ sowohl in $L$ als auch in $R$. Daher ist $Q\; =\; L$ R nicht leer. Ist nun $a$ ein Element aus $GQ$ QG, so gibt es Elemente $g,h$ aus $G$ und $b,c$ aus $Q$ mit $a\; =\; g*b\; =\; c*h$. Dann liegt aber $a=g*b$ in $L$ und $a\; =\; c*h$ in $R$, also $a$ in $Q$. Daher ist der Durchschnitt eines Links- und eines Rechtsideals stets ein Quasi-Ideal.

Andererseits ist jedes Quasi-Ideal $Q$ der Durchschnitt der Mengen $L\; =\; Q$ GQ und $R\; =\; Q$ QG, wobei $Q$ offensichtlich in $L$ R enthalten ist. Umgekehrt liegt jedes Element $a$ aus $L$ R entweder schon in $Q$ oder sowohl in $GQ$ als auch in $QG$, also im Durchschnitt dieser Mengen. Da $Q$ Quasi-Ideal ist, liegt $a$ dann aber ebenfalls in $Q$.

In einer Halbgruppe $(G,*)$ ist $L\; =\; Q$ GQ aber immer ein Linksideal und $R\; =\; Q$ QG ein Rechtsideal. Also sind die Quasi-Ideale einer Halbgruppe genau die Durchschnitte eines Linksideals und eines Rechtsideals.

Jede Quasigruppe $(G,*)$ hat nur das Quasi-Ideal $Q\; =\; G$, denn ist $a$ beliebiges Element des Quasi-Ideals $Q$, so gilt in der Quasigruppe $G\; =\; G\; *\; a\; =\; a\; *\; G$. Also ist $G$ sowohl in $G*Q$ als auch in $Q*G$ enthalten und damit auch im Durchschnitt. Der aber wiederum ist in $Q$ enthalten, da $Q$ ein Quasi-Ideal ist. Dies zeigt $G\; =\; Q.$

Unter einem Bi-Ideal²⁾ eines Gruppoids $(G,*)$ versteht man ein Untergruppoid $B$ von $G$, das

(b)   $(a*b)*c$ und $a*(b*c)$ liegen in $B$ für alle $b$ aus $B$ und alle $a,c$ aus $G$

erfüllt. Insbesondere ist also jedes zweiseitige Ideal ein Bi-Ideal.

Wiederum gilt, daß der Durchschnitt einer beliebigen Menge von Bi-Idealen eines Gruppoids entweder leer ist oder selbst ein Bi-Ideal des Gruppoids.

Satz: Ist $A$ zweiseitiges Ideal einer Halbgruppe $(S,*)$ und $B$ ein Quasi-Ideal von $A$, so ist $B$ ein Bi-Ideal von $S$. Insbesondere ist jedes Quasi-Ideal einer Halbgruppe bereits ein Bi-Ideal.

Beweis: Es ist $B$ Untergruppoid von $A$, und damit auch von $S$, und $BSB$ liegt sowohl in $BSA$ als auch in $ASB$. Da aber $A$ Ideal von $S$ ist, liegen $AS$ und $SA$ in $A$. Daher liegt $BSA$ in $BA$ und $ASB$ in $AB$. Also liegt $BSB$ im Durchschnitt von $BA$ und $AB$, und dieser wiederum in $B$, da $B$ Quasi-Ideal von $A$ ist.

Satz: Sind $A$ und $B$ Quasi-Ideale einer Halbgruppe $(S,*)$, so ist $AB$ Bi-Ideal von $S$.

Beweis: Nach dem vorherigen Satz ist jedenfalls $BSB$ Teilmenge von $B$. Also liegt $ABAB$ in $ABSB$ und damit in $AB$, d. h. $AB$ ist Unterhalbgruppe von $S$. Außerdem liegt $AB(SA)B$ in $ABSB$ und damit in $AB$, d. h. es gilt (b).