Implikative Algebren

Unter einer implikativen Algebra $(G,*,1)$ versteht man ein Gruppoid $(G,*)$ mit einem ausgezeichneten Element $1$ aus $G$, so daß die durch

(1) $x$ y <=> $x*y\; =\; 1$

für alle $x,\; y$ aus $G$ definierte Relation $$ eine partielle Ordnung auf $G$ ist mit $1$ als größtem Element.

Man schreibt dann oft auch einen Implikationspfeil $->$ anstelle des multiplikativen Verknüpfungssymbols $*$.

Die Reflexivität der durch (1) definierten Relation ist offensichtlich gleichwertig zu

(2) $x*x\; =\; 1$ für alle $x$ aus $G$,

die Antisymmetrie zu

(3) $x*y\; =\; 1\; =\; y*x$ impliziert $x\; =\; y$

und die Transitivität zu

(4) $x*y\; =\; 1\; =\; y*z$ impliziert $x*z\; =\; 1$ für alle $x,y,z$ aus $G$.

Die zusätzliche Bedingung $x$ 1 für alle $x$ aus $G$ schließlich ist gleichwertig zu

(5) $x*1\; =\; 1$, d. h. $1$ ist rechtsabsorbierend.

Eine implikative Algebra $(G,*,1)$ heißt positiv oder eine Hilbert-Algebra, wenn in der partiell geordneten Menge $(G,$) die Ungleichungen

(6) $x$ y*x

und

(7) $x*(y*z)$ (x*y)*(x*z)

für alle $x,y,z$ aus $G$ gelten. Wegen (1) sind diese Ungleichungen natürlich gleichwertig zu

(6') $x*(y*x)\; =\; 1$

und

(7') $(x*(y*z))*((x*y)*(x*z))\; =\; 1.$

Beispiel: Ist $(G,$,1) eine partiell geordnete Menge mit dem größten Element $1$ und definiert man $x*y\; =\; 1$ falls $x$ y gilt, sowie $x*y\; =\; y$ sonst, so ist $(G,*,1)$ eine positive implikative Algebra. Jede auf diese Weise entstehende implikative Algebra wird auch Ordnungsalgebra oder pure Hilbert-Algebra genannt. Zunächst einmal ist jedenfalls $(G,*)$ ein Gruppoid mit einem ausgezeichneten Element $1$, so daß (1) gilt. Nach den Voraussetzungen über $(G,$,1) handelt es sich daher um eine implikative Algebra. Beim Nachweis von (6') beachte man, daß $y*x\; =\; 1$ oder $y*x\; =\; x$ gilt. Im ersten Fall folgt $x*(y*x)\; =\; 1$ aus (5), im zweiten Fall aus (2). Beim Nachweis von (7') gilt im Fall $y*z\; =\; z$ schon $(x*(y*z))*((x*y)*(x*z))\; =\; (x*z)*((x*y)*(x*z))\; =\; 1$ wegen (6'). Man braucht also nur noch den Fall $y*z\; =\; 1$ zu betrachten. Gilt dann aber $x*y\; =\; 1$, so folgt $x*z\; =\; 1$ aus (4) und damit (7') aus (5). Gilt dagegen $x*y\; =\; y$, so folgt aus $x*z\; =\; 1$ wie eben (7'), und aus $x*z\; =\; z$ erhält man $(x*(y*z))*((x*y)*(x*z))\; =\; (x*1)*(y*z)\; =\; 1*1\; =\; 1$, also ebenfalls (7').