Implikative Algebren


Unter einer implikativen Algebra (G,*,1) versteht man ein Gruppoid (G,*) mit einem ausgezeichneten Element 1 aus G, so daß die durch

(1) x y <=> x*y = 1

für alle x, y aus G definierte Relation eine partielle Ordnung auf G ist mit 1 als größtem Element.

Man schreibt dann oft auch einen Implikationspfeil -> anstelle des multiplikativen Verknüpfungssymbols *.

Die Reflexivität der durch (1) definierten Relation ist offensichtlich gleichwertig zu

(2) x*x = 1 für alle x aus G,

die Antisymmetrie zu

(3) x*y = 1 = y*x impliziert x = y

und die Transitivität zu

(4) x*y = 1 = y*z impliziert x*z = 1 für alle x,y,z aus G.

Die zusätzliche Bedingung x 1 für alle x aus G schließlich ist gleichwertig zu

(5) x*1 = 1, d. h. 1 ist rechtsabsorbierend.


Eine implikative Algebra (G,*,1) heißt positiv oder eine Hilbert-Algebra, wenn in der partiell geordneten Menge (G,) die Ungleichungen

(6) x y*x

und

(7) x*(y*z) (x*y)*(x*z)

für alle x,y,z aus G gelten. Wegen (1) sind diese Ungleichungen natürlich gleichwertig zu

(6') x*(y*x) = 1

und

(7') (x*(y*z))*((x*y)*(x*z)) = 1.

Beispiel: Ist (G,,1) eine partiell geordnete Menge mit dem größten Element 1 und definiert man x*y = 1 falls x y gilt, sowie x*y = y sonst, so ist (G,*,1) eine positive implikative Algebra. Jede auf diese Weise entstehende implikative Algebra wird auch Ordnungsalgebra oder pure Hilbert-Algebra genannt. Zunächst einmal ist jedenfalls (G,*) ein Gruppoid mit einem ausgezeichneten Element 1, so daß (1) gilt. Nach den Voraussetzungen über (G,,1) handelt es sich daher um eine implikative Algebra. Beim Nachweis von (6') beachte man, daß y*x = 1 oder y*x = x gilt. Im ersten Fall folgt x*(y*x) = 1 aus (5), im zweiten Fall aus (2). Beim Nachweis von (7') gilt im Fall y*z = z schon (x*(y*z))*((x*y)*(x*z)) = (x*z)*((x*y)*(x*z)) = 1 wegen (6'). Man braucht also nur noch den Fall y*z = 1 zu betrachten. Gilt dann aber x*y = 1, so folgt x*z = 1 aus (4) und damit (7') aus (5). Gilt dagegen x*y = y, so folgt aus x*z = 1 wie eben (7'), und aus x*z = z erhält man (x*(y*z))*((x*y)*(x*z)) = (x*1)*(y*z) = 1*1 = 1, also ebenfalls (7').