Integritätsbereiche


Es sei (R,+,*) ein Ring mit dem Nullelement 0. Von 0 verschiedene Elemente a und b aus R heißen Nullteiler, wenn a*b = 0 gilt. Man nennt (R,+,*) nullteilerfrei, wenn es keine derartigen Elemente gibt. Insbesondere ist also jeder einelementige Ring nullteilerfrei. Für Ringe mit mindestens zwei Elementen ist die Nullteilerfreiheit offenbar gleichbedeutend damit, daß (R\{0},*) Unterhalbgruppe von (R,*) ist. Diese Halbgruppe ist dann außerdem stets kürzbar, denn für alle a, x, y aus (R\{0},*) folgt aus a*x = a*y mit der Gruppeneigenschaft von (R,+) und den Distributivgesetzen sofort a*(x - y) = a*x - a*y = 0, und die Nullteilerfreiheit impliziert dann x - y = 0, also x = y. Dies zeigt die Linkskürzbarkeit, und die Rechtskürzbarkeit folgt analog. Also ist insbesondere jeder Körper nullteilerfrei.


Besitzt ein nullteilerfreier Ring (R,+,*) ein Einselement 1 /= 0, so besitzt jeder von { 0 } verschiedene Unterring von (R,+,*) entweder überhaupt kein Einselement oder dasselbe Einselement 1. Jedes von 0 verschiedene Einselement eines Unterringes ist nämlich idempotentes Element in der kürzbaren Halbgruppe (R\{0},*) und damit bereits gleich 1. Die Unterringe (n*Z,+,*) für n > 1 des Ringes (Z,+,*) der ganzen Zahlen zeigen, daß nicht jeder Unterring eines (kommutativen) nullteilerfreien Ringes mit Einselement bereits ein Einselement besitzen muß.


Ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit Einselement heißt ein Integritätsbereich. Daher ist jeder kommutative Körper ein Integritätsbereich. Umgekehrt ist jeder endliche Integritätsbereich bereits ein kommutativer Körper, denn wegen der Nullteilerfreiheit ist (R\{0},*) kürzbare Halbgruppe und wegen der Endlichkeit damit sogar Gruppe.


Beispiele für Integritätsbereiche sind:

  • Jeder Unterring mit Einselement eines Integritätsbereiches ist selbst ein Integritätsbereich, insbesondere alle derartigen Unterringe eines kommutativen Körpers.

  • Für jede ganze Zahl k aus Z ist die Quadratwurzel sqrt(k) im Körper (C,+,*) der komplexen Zahlen enthalten. Da die Menge Z + Z*sqrt(k) = { a + b*sqrt(k) | a, b aus Z } offensichtlich einen Unterring von (C,+,*) bildet, der die Zahl 1 enthält, ist Z + Z*sqrt(k) jeweils ein Integritätsbereich. Insbesondere gehören hierzu der Ring (Z,+,*) der ganzen Zahlen selbst, aber auch der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z + Z*i.

  • Ist (R,+,*) ein Integritätsbereich, so ist auch der Polybomring (R[x],+,*) ein Integritätsbereich, denn aus Gradgründen kann ein Polynom nur Nullteiler sein, wenn sein höchster Koeffizient Nullteiler in (R,+,*) ist.